選自Quanta Magazine

作者：Leila Sloman

編譯：杜偉、陳陳

故事始于 2003 年，一位名叫 Britta Sp?then 的德國(guó)研究生首次接觸到了麥凱猜想（McKay conjecture），這是數(shù)學(xué)群論中最大的未解難題之一。

作為群論的一個(gè)著名猜想，麥凱猜想由數(shù)學(xué)家約翰?麥凱（John McKay）于 1972 年提出，主要涉及有限群的表示論，特別是關(guān)于群的不可約特征標(biāo)的性質(zhì)。

最開(kāi)始， Britta Sp?then 的目標(biāo)并沒(méi)有那么大。她希望證明一兩個(gè)定理，逐步推進(jìn)這一猜想的解決，就像她之前許多其他數(shù)學(xué)家所做的那樣。但多年來(lái)，她一次又一次地被麥凱猜想吸引。

像這樣一心一意地追求如此困難的問(wèn)題可能會(huì)傷害她的學(xué)術(shù)生涯，但 Britta Sp?then 還是把所有的時(shí)間都投入其中。之后，她認(rèn)識(shí)了巴黎 Jussieu 數(shù)學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家 Marc Cabanes，后者受到她的啟發(fā)，也開(kāi)始對(duì)麥凱猜想著迷。在一起工作期間，兩人墜入愛(ài)河，并最終組建了家庭。

數(shù)學(xué)中充滿了極其復(fù)雜的抽象對(duì)象，不可能完全對(duì)它們進(jìn)行研究。不過(guò)，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，通常只需查看此類(lèi)對(duì)象的一小部分即可了解它們更廣泛的屬性。因此，當(dāng)數(shù)學(xué)家想要理解一個(gè)極其復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，他們可能只需要查看它的一小部分可能輸入的行為，就足以說(shuō)明該函數(shù)對(duì)所有可能的輸入的作用。

麥凱猜想就是這樣的典型例子，如果你想全面地描述一個(gè)群（一個(gè)極其難以研究的重要數(shù)學(xué)實(shí)體），你只需要看其中的一小部分就行了。

圖（左）為 Britta Sp?th，（右）為 Marc Cabanes

自 20 世紀(jì) 70 年代提出這個(gè)猜想后，數(shù)十位數(shù)學(xué)家都曾嘗試進(jìn)行證明。他們?nèi)〉昧瞬糠诌M(jìn)展，并在此過(guò)程中學(xué)到了很多關(guān)于群的知識(shí)（群是描述數(shù)學(xué)系統(tǒng)中各種對(duì)稱性的抽象對(duì)象）。然而，完整的證明似乎仍然遙不可及。

終于，在 Britta Sp?th 接觸麥凱猜想 20 年后、在她遇到 Marc Cabanes 十多年后，這對(duì)夫婦終于完成了證明。當(dāng)他們兩人宣布成果時(shí)，同事們都驚呆了。斯坦福大學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)教授 Persi Diaconis 祝賀道，「經(jīng)過(guò)多年的努力鉆研，她做到了，他們終于做到了。」

他們?cè)?2024 年 7 月發(fā)表了論文《The McKay Conjecture on character degrees》，文章篇幅有 68 頁(yè)。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2410.20392

素?cái)?shù)（primes）的力量

麥凱猜想始于對(duì)一個(gè)奇怪巧合的觀察。

在朋友的眼中，數(shù)學(xué)家約翰?麥凱是一位「才華橫溢、說(shuō)話輕聲細(xì)語(yǔ)、令人著迷」的人，他以能在意想不到的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)值模式而聞名。這位康考迪亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家最著名的可能要屬「怪物月光」猜想，該猜想在 1978 年提出，涉及怪物群（Monster group）和模形式（modular forms）之間的神秘聯(lián)系。最終在 1992 年得到了證明，引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。

在約翰?麥凱去世幾年前，他還發(fā)現(xiàn)了很多其他重要的關(guān)聯(lián)，其中很多都涉及到了群。群是一組元素以及這些元素相互關(guān)聯(lián)的規(guī)則的結(jié)合，它可以被看作是對(duì)稱性的集合，即以特定方式保持一個(gè)形狀、函數(shù)或其他數(shù)學(xué)對(duì)象不變的變換（transformation）。盡管群很抽象，但它們非常有用，并且在數(shù)學(xué)中發(fā)揮了核心作用。

1972 年，約翰?麥凱專注于有限群，即元素?cái)?shù)量有限的群。他觀察到，在很多情況下，你可以通過(guò)查看一個(gè)有限群中的很少部分元素來(lái)推斷該群的重要信息。并且，約翰?麥凱特別研究了在原始群內(nèi)部形成一個(gè)特殊、較小群（被稱為 Sylow 正則化子）（normalizer）的元素。

假設(shè)有一個(gè)包含 72 個(gè)元素的群，僅憑這一點(diǎn)不會(huì)告訴你太多信息：這樣大小的群能有 50 個(gè)（每個(gè)都不同）。但是，72 可以寫(xiě)成素?cái)?shù)（2 × 2 × 2 × 3 × 3）的乘積，即 2^3 × 3^2。通常來(lái)說(shuō)，描述群大小所需要的不同素?cái)?shù)越多，群就越復(fù)雜。你可以在這些素?cái)?shù)的基礎(chǔ)上將群分解為更小的子群。

這里，你可以分別得到具有 8 個(gè)（2^3）元素和 9 個(gè)（3^2）元素的子群。通過(guò)研究這些子群，你可以了解更多有關(guān)整個(gè)群結(jié)構(gòu)的信息，比如群由哪些構(gòu)建塊組成。

現(xiàn)在，取其中一個(gè)子群，并添加一些特定元素，以創(chuàng)建一個(gè)特殊的子群 ——Sylow 正則化子。在這個(gè) 72 元素群中，你可以為每個(gè)「8 元素」和「9 元素」的子群構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不同的 Sylow 正則化子，它們分別成為 2-Sylow 正則化子和 3-Sylow 正則化子。

Sylow 正則化子以及它們所構(gòu)建的子群，可以告訴數(shù)學(xué)家們很多關(guān)于原始群的信息。然而，約翰?麥凱假設(shè)這種聯(lián)系比任何人想象中的都要強(qiáng)大，這就不再僅僅是通過(guò) Sylow 正則化子洞察一個(gè)有限群整體結(jié)構(gòu)了。他斷言，如果數(shù)學(xué)家想要計(jì)算一個(gè)可以幫助他們描述群的關(guān)鍵量，則只需查看一組特定 Sylow 正則化子中的一個(gè)即可：Sylow 正則化子將由完全相同的數(shù)值來(lái)表示。

該量用來(lái)計(jì)算某類(lèi)「表示」的數(shù)量，你可以使用被稱為矩陣的數(shù)字?jǐn)?shù)組來(lái)重寫(xiě)群的元素。這樣的計(jì)數(shù)可能看起來(lái)很隨意，但它能讓數(shù)學(xué)家了解群中的元素如何彼此關(guān)聯(lián)，并且涉及到了其他重要屬性的計(jì)算。

至于為什么約翰?麥凱的量對(duì)于有限群及其 Sylow 正則化子來(lái)說(shuō)應(yīng)該總是相同的，似乎沒(méi)有充分的理由來(lái)說(shuō)明。Sylow 正則化子可能只包含更大群中的一小部分元素。與此同時(shí)，Sylow 正則化子通常具有不同的結(jié)構(gòu)。

這就是約翰?麥凱的推測(cè)，對(duì)于所有有限群都是如此。如果真是這樣，那么數(shù)學(xué)家的生活就會(huì)變得輕松多了：Sylow 正則化子比它們的母群更容易處理。這也暗示著存在一個(gè)更深的數(shù)學(xué)真理，一個(gè)數(shù)學(xué)家尚未掌握的真理。

在約翰?麥凱首次觀察到這一巧合的一年后，一位名叫 Marty Isaacs 的數(shù)學(xué)家證明了該巧合適用于一大類(lèi)群。但隨后，數(shù)學(xué)家們陷入了困境。他們能夠證明該巧合適用于某個(gè)或另一個(gè)特定的群，但還有無(wú)數(shù)個(gè)群需要證明。

因此，證明整個(gè)猜想似乎非常困難。事實(shí)證明，此問(wèn)題要想取得重要進(jìn)展，需要數(shù)學(xué)家們解決史上最艱巨的數(shù)學(xué)難題之一。

麥凱猜想的一小步，群論的一大步

對(duì)有限群的所有構(gòu)件進(jìn)行分類(lèi)，需要數(shù)千個(gè)證明，花 100 多年的時(shí)間才能完成。但在 2004 年，數(shù)學(xué)家們終于成功地證明，所有的構(gòu)建塊都必須屬于三類(lèi)中的一類(lèi)，否則就屬于 26 個(gè)異常值。

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直認(rèn)為，一旦完成對(duì)有限群的分類(lèi)，這將有助于簡(jiǎn)化諸如麥凱猜想這樣的問(wèn)題。

然而，這需要有人證明這種策略確實(shí)可行。

就在有限群分類(lèi)正式完成的那一年，Isaacs、Navarro 和 Gunter Malle 找到了重新表述麥凱猜想的正確方法，只需專注于一組較小的群。

對(duì)于這個(gè)新集合中的每個(gè)群，他們都必須展示一些比麥凱猜想提出的更強(qiáng)的東西。

Isaacs、Navarro 和 Malle 證明了，如果這個(gè)更強(qiáng)的陳述對(duì)這些特定的群成立，那么麥凱猜想對(duì)所有有限群都必然成立。

Gabriel Navarro 與兩位同事將群論中一個(gè)重大的開(kāi)放猜想轉(zhuǎn)化為一個(gè)可處理的問(wèn)題。

問(wèn)題的突破口在于他們對(duì)問(wèn)題的重構(gòu)。此后幾年，數(shù)學(xué)家們利用這一突破解決了麥凱猜想的大部分情況。此外，這一方法還幫助他們簡(jiǎn)化了其他涉及通過(guò)局部研究整體的問(wèn)題。丹佛大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Mandi Schaeffer Fry 表示，這一方法已成為解決許多猜想的重要藍(lán)圖。

然而，對(duì)于一類(lèi)稱為「李型群」的群，新版麥凱猜想仍是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題。這些群的表示特別難以研究，要證明它們之間的關(guān)系滿足 Isaacs、Navarro 和 Malle 提出的條件非常具有挑戰(zhàn)性。但 Malle 的一名研究生 Britta Sp?th 正在研究這一問(wèn)題。

執(zhí)著于一件事的 Britta Sp?th

2003 年，Britta Sp?th 來(lái)到卡塞爾大學(xué)，開(kāi)始攻讀博士學(xué)位。她幾乎是為研究麥凱猜想而生的：甚至在高中時(shí)，她就能花費(fèi)數(shù)天甚至數(shù)周的時(shí)間來(lái)鉆研一個(gè)問(wèn)題，她特別喜歡那些考驗(yàn)她毅力的問(wèn)題。

Britta Sp?th 投入了大量時(shí)間深入研究群表示理論。研究生畢業(yè)后，她決定利用自己在這方面的專業(yè)知識(shí)繼續(xù)攻克麥凱猜想?！杆幸环N瘋狂但又非常出色的直覺(jué)，」她的朋友兼合作者 Schaeffer Fry 表示。

幾年后的 2010 年，Britta Sp?th 前往巴黎西岱大學(xué)工作，正是在那里她遇到了 Marc Cabanes。Britta Sp?th 經(jīng)常去他的辦公室請(qǐng)教問(wèn)題。

之后，Britta Sp?th 和 Marc Cabanes 一起開(kāi)始著手證明每一個(gè)類(lèi)別中的猜想，并在接下來(lái)的十年中報(bào)告了多項(xiàng)重大成果。

經(jīng)過(guò)深入研究他們對(duì)李型群有了深刻的理解。在研究過(guò)程中，他們開(kāi)始交往，有了兩個(gè)孩子，并最終在德國(guó)定居。

到 2018 年，他們只剩下一種李型群尚未攻克。一旦完成這一類(lèi)別的證明，他們就將證明麥凱猜想。

繼續(xù)尋找下一個(gè)執(zhí)念

「攻克第四種李型群困難重重，令人意外的挫折也很多」，Britta Sp?th 說(shuō)。但最終，她和 Marc Cabanes 逐漸證明了這些群的表示數(shù)量與它們的 Sylow 正則化子的表示數(shù)量相匹配 —— 并且這些表示的匹配方式滿足了必要的規(guī)則。終于，最后一個(gè)案例完成了。麥凱猜想的正確性也隨之得以自動(dòng)證明。

2023 年 10 月，在他們對(duì)自己的證明結(jié)果有了足夠的信心后，他們終于在一個(gè)有 100 多名數(shù)學(xué)家的房間里宣布了這一成果。一年后，他們將證明過(guò)程發(fā)布到網(wǎng)上，供整個(gè)數(shù)學(xué)界消化。曼徹斯特大學(xué)的 Radha Kessar 評(píng)價(jià)說(shuō)：這是一個(gè)絕對(duì)令人驚嘆的成就。

如今，數(shù)學(xué)家們可以通過(guò)單獨(dú)研究群的 Sylow 正規(guī)化子來(lái)研究群的重要性質(zhì)。

在那之后，他們兩人繼續(xù)前行，尋找他們的下一個(gè)執(zhí)念。據(jù) Britta Sp?th 透露，到目前為止，還沒(méi)有任何問(wèn)題像麥凱猜想那樣深深地吸引她?！府?dāng)你完成了一件大事之后，再找到面對(duì)下一件大事的勇氣和熱情就變得很困難了，有時(shí)候這真的是一場(chǎng)戰(zhàn)斗。但同時(shí)，它也賦予了你每一天的意義?！?/p>

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/