馮?諾伊曼是罕有的天才，對(duì)數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、量子力學(xué)、氣象學(xué)、博弈論、高速計(jì)算機(jī)器、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)。馮?諾伊曼在1927—1929年間公理化量子力學(xué)的努力，為量子力學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。馮?諾伊曼對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)，包括希爾伯特空間、算子理論、測(cè)量理論等，在其本人那里不過(guò)是摟草打兔子式的副業(yè)，但單憑那些成就就足以確立他在當(dāng)代數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的杰出地位。

撰文 | 曹則賢 (中國(guó)科學(xué)院物理研究所)

來(lái)源 | 選自《物理》2025年第4期

Brains， speed， and hard work produced results.

—Paul R. Halmos，The legends of John von Neumann

So a Hilbert space is defined by the existence of the inner product….

Operator theory deals with linear operations in a Hilbert space.

—John von Neumann，Unsolved Problems in Mathematics

0 神童馮?諾伊曼

約翰?馮?諾伊曼(John von Neumann,1903—1957)是人類歷史上杰出得極為獨(dú)特的、學(xué)化工出身的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、氣象學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家。馮?諾伊曼1903年出生于匈牙利布達(dá)佩斯一戶有錢人家，匈牙利文名字為Neumann János Lajos。馮?諾伊曼天資聰穎(圖1)，擁有過(guò)目不忘(eidetic memory)和過(guò)目成誦(quote it back verbatim)的本領(lǐng)，8歲學(xué)習(xí)微積分，12歲即閱讀法國(guó)數(shù)學(xué)家Emile Borel(1871—1956)的Sur quelques points de la théorie des fonctions(函數(shù)論略論)，當(dāng)然是法文原文的。馮?諾伊曼1914年前在家讀私塾(home-schooled)，然后進(jìn)入布達(dá)佩斯的德語(yǔ)教會(huì)中學(xué)(Lutheran Gymnasium)直至1921年。馮?諾伊曼很早就表現(xiàn)出了無(wú)與倫比的數(shù)學(xué)天分，16歲就發(fā)表了集合論方面的論文。匈牙利的數(shù)學(xué)家們看出了他的數(shù)學(xué)天才，并對(duì)他大加鼓勵(lì)。

圖1　馮?諾伊曼于1910年

馮?諾伊曼喜歡數(shù)學(xué)而其父希望其投身賺錢事業(yè)，根據(jù)馮?卡門的建議，作為雙方妥協(xié)的結(jié)果，中學(xué)畢業(yè)的馮?諾伊曼進(jìn)大學(xué)學(xué)習(xí)化工。馮?諾伊曼1921年進(jìn)入德國(guó)的柏林大學(xué)學(xué)化學(xué)，1923年到瑞士聯(lián)邦理工(Eidgenossische Technische Hochschule，ETH)接著學(xué)化學(xué)，因?yàn)槿匀粚?duì)數(shù)學(xué)感興趣，他同時(shí)還在布達(dá)佩斯大學(xué)注冊(cè)為數(shù)學(xué)專業(yè)的博士生，導(dǎo)師為L(zhǎng)ipót Fejér(1880—1959)，最后在1926年憑借題為“集合論的公理化構(gòu)造”的論文獲得博士學(xué)位，差不多同時(shí)從ETH的化工專業(yè)畢業(yè)。在柏林大學(xué)學(xué)化工期間，馮?諾伊曼一直沒(méi)有停止集合論方面的研究，此外還選修了物理課，包括愛(ài)因斯坦老師的統(tǒng)計(jì)物理課(!)在ETH學(xué)化工的同時(shí)，馮?諾伊曼跟外爾老師學(xué)習(xí)希爾伯特的一致性理論，也上過(guò)數(shù)學(xué)大神波利亞(George Pólya，1887—1985)的課。{我好象明白為什么有些大學(xué)的數(shù)學(xué)系辦不好了，因?yàn)榛は禌](méi)招到有數(shù)學(xué)天分的學(xué)生}如此看來(lái)，馮?諾伊曼的學(xué)習(xí)是非常高效的。據(jù)信馮?諾伊曼的最常見(jiàn)的動(dòng)機(jī)是不管當(dāng)時(shí)腦子里在干什么都要讓下一分鐘是最高產(chǎn)的。

馮?諾伊曼在柏林和ETH學(xué)化工期間的數(shù)學(xué)成就引起了德國(guó)數(shù)學(xué)界的高度重視{看來(lái)數(shù)學(xué)是一門供天才自學(xué)的學(xué)科}。1926年，馮?諾伊曼申請(qǐng)一份美國(guó)基金會(huì)的基金，資助他到哥廷恩去進(jìn)修數(shù)學(xué)。在申請(qǐng)表上，馮?諾伊曼在“能說(shuō)的語(yǔ)言”一欄里填上了母語(yǔ)匈牙利語(yǔ)、德語(yǔ)、英語(yǔ)、法語(yǔ)和意大利語(yǔ)，在“能讀的語(yǔ)言”一欄里添加了拉丁語(yǔ)(圖2)。令人震驚的是，三封推薦信分別來(lái)自希爾伯特、庫(kù)朗和外爾，這得是當(dāng)時(shí)德國(guó)數(shù)學(xué)界能湊出的最強(qiáng)陣容了。1926年秋，獲得資助的馮?諾伊曼到哥廷恩，跟著希爾伯特研究集合論的基礎(chǔ)。

圖2　馮?諾伊曼1926年申請(qǐng)去哥廷恩進(jìn)修數(shù)學(xué)的表格

碰巧的是，哥廷恩是量子力學(xué)的誕生地。1926年秋，薛定諤分四部分的“量子化作為本征值問(wèn)題”{當(dāng)作數(shù)學(xué)論文看也許更恰當(dāng)一些}一文已經(jīng)發(fā)表完畢，量子力學(xué)有了矩陣力學(xué)和波力學(xué)兩種形式，故而量子力學(xué)研究變得格外熱乎，對(duì)數(shù)學(xué)的要求也變高了。數(shù)學(xué)強(qiáng)一些的研究者如約當(dāng)、狄拉克、泡利、馮?諾伊曼和福克站到了量子力學(xué)研究的前臺(tái)。量子力學(xué)需要表示理論，還要拓展，還要公理化。馮?諾伊曼瞄上了量子力學(xué)研究，迅速認(rèn)識(shí)到抽象的、公理化的希爾伯特空間與線性算符的理論提供了一個(gè)非常自然的框架(a much more natural framework was provided by the abstract, axiomatic theory of Hilbert spaces and their linear operators)，遂將部分精力投入對(duì)量子力學(xué)形式框架(formal framework of quantum mechanics)的研究中。

有人夸獎(jiǎng)馮?諾伊曼有深刻的洞見(jiàn)，明白希爾伯特空間的幾何同量子力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的結(jié)構(gòu)形式上具有同樣的性質(zhì)(that the geometry of the vectors in a Hilbert space have the same formal properties as the structure of the states of a quantum mechanical system)，這是馮?諾伊曼有能力對(duì)量子力學(xué)做貢獻(xiàn)的關(guān)鍵。

1 馮?諾伊曼的量子力學(xué)著作

馮?諾伊曼的量子力學(xué)研究，筆者總覺(jué)得是屬于摟草打兔子型的，反正他才華橫溢也費(fèi)不了什么事兒。作為一個(gè)獨(dú)特的天才型實(shí)干學(xué)者，馮?諾伊曼在物理方面的研究，雖然比不了他在數(shù)學(xué)方面的成就，但也算得上成果豐碩且著述頗豐。就物理學(xué)著述而言，在量子力學(xué)方面當(dāng)然首推他1932年的Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik(量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ))一書(圖3)，這是和兩年前問(wèn)世的狄拉克的《量子力學(xué)原理》并駕齊驅(qū)的奠基性經(jīng)典。馮?諾伊曼1928年申請(qǐng)柏林大學(xué)私俸講師位置所需提交的論文(Habilitationsschrift)，題目為Allgemeine Eigenwerttheorie symmetrischer Funktionaloperatoren(對(duì)稱泛函算符的一般本征值理論)也極具參考價(jià)值。此外，兩卷本的Functional operators(vol.1, Measures and integrals, Princeton University Press(1950); vol.2，The geometry of orthogonal spaces, Princeton University Press (1951))也可作為量子力學(xué)的基礎(chǔ)讀物。

圖3　馮?諾伊曼的Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik(Springer，1932)

馮?諾伊曼在量子力學(xué)方面的研究論文大致羅列如下：

(1) D. Hubert, J. von Neumann, L. Nordheim,über die Grundlagen der Quantenmechanik (論量子力學(xué)的基礎(chǔ)),Math. Ann. 98, 1—30 (1927).

(2) John von Neumann, Mathematische Begründung der Quantenmechanik (量子力學(xué)的數(shù)學(xué)筑基), K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen,
Mathematisch-physikalische Klasse,

Nachrichten 1—57(1927).

(3) John von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik (量子力學(xué)的概率論構(gòu)造), K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen,
Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten 245—272(1927).

(4) John von Neumann, Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten (量子系綜的熱力學(xué)), K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen,
Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten 273—291(1927).

(5) John von Neumann, Einige Bemerkungenzur Diracschen Theorie des Drehelektrons (關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)電子的狄拉克理論的幾點(diǎn)說(shuō)明),Zeitschrift für Physik48, 868—881 (1928).

(6) John von Neumann, Eugene Wigner, ZurErkl?rung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons (對(duì)源自轉(zhuǎn)動(dòng)電子量子力學(xué)之譜性質(zhì)的幾點(diǎn)解釋),Zeitschrift

für Physik, I. 47, 203—220 (1928); II. 49, 73—94(1928); III. 51, 845—888 (1928).

(7) John von Neumann, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren (厄米特泛函算符的一般本征值理論)，Mathematische Annalen102, 49—131(1929).

(8) John von Neumann, Beweis des Ergodensatzes und des H-Theorems in der neuen Mechanik (新力學(xué)中遍歷定律和H-定理的證明),Zeitschrift für Physik57, 30—70(1929).

(9) John von Neumann, Eugene Wigner, überdas Verhalten von Eigenwerten bei adiabatischen Prozessen (論非渡越過(guò)程中本征值的行為),Physikalische Zeitschrift30, 467—470 (1929).

(10) John von Neumann, Zur Theorie der unbeschr?nkten Matrizen (無(wú)限矩陣?yán)碚?，Journal für die reine und angewandte Mathematik161, 208—236 (1929).

(11) John von Neumann, Eugene Wigner, übermerkwürdige diskrete Eigenwerte (論宜關(guān)照的分立本征值),Physikalische Zeitschrift30, 465—467(1929).

(12) John von Neumann, Zur Algebra derFunktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren (泛函算符代數(shù)與正規(guī)算符理論),Mathematische Annalen102, 370—427 (1930).

(13) John von Neumann, Die Eindeutigkeit derSchr?dingerschen Operatoren (薛定諤算符的唯一性),Mathematische Annalen104, 570—578(1931) .

(14) John von Neumann. Proof of the quasiergodic hypothesis,PNAS18, 70—82 (1932).

(15) John von Neumann, über adjungierte Funktional operatoren (論伴隨函數(shù)算子),Annals of Mathematics33(2), 294—310 (1932).

(16) John von Neumann, Physical applicationsof the ergodic hypothesis,PNAS18, 263—266(1932).

(17) John von Neumann, Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik (經(jīng)典力學(xué)中的算子理論),Annals of Mathematics33(3), 587—642(1932); Zus?tze zur Arbeit “Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik” (補(bǔ)充), 789—791 (1932).

(18) B. O. Koopman, J. von Neumann, Dynamical systems of continuous spectra,PNAS18, 255—263 (1932).

(19) P. Jordan, J. von Neumann, E. Wigner,On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism,Annals of Mathematics35(1),29—64 (1934).

(20) A. H. Taub, O. Veblen, J. von Neumann,The Dirac equation in projective relativity,PNAS20，383—388 (1934).

(21) P. Jordan and J. von Neumann, On innerproducts in linear, metric spaces,Annals of Mathematics36(3), 719—723 (1935).

(22) John von Neumann, Representations andray-representations in quantum mechanics,Bulletin of the American Mathematical Society41, 305(1935).

(23) John von Neumann, On an algebraicgeneralization of the quantum mechanical formalism I,Rec. Math. Moscou, n. Ser., 1, 415—482 (1936).

(24) Garrett Birkhoff, John von Neumann, Thelogic of quantum mechanics,Annals of Mathematics37, 823—843 (1936).

(25) John von Neumann, Some matrix-inequalities and metrization of matrix-space,Tomskii Univ. Rev.1, 286—300 (1937).

(26) Paul R. Halmos, John von Neumann,Operator methods in classical mechanics,Annals of Mathematics43, 332—350 (1942).

(27) John von Neumann, Eine Spektraltheoriefür allgemeine Operatoren eines unit?ren Raumes (酉空間中一般算符的譜理論),Mathematische Nachrichten4, 258—281 (1951).

(28) Eugene P. Wigner, John von Neumann,Significance of Loewner’s theorem in the quantum theory of collisions,Annals of Mathematics59, 418—433 (1954).

(29) A. Devinatz, A. E. Nussbaum, J. vonNeumann, On the permutability of self-adjoint operators,Annals of Mathematics62, 199—203(1955).

馮?諾伊曼的量子力學(xué)論文，一方面深挖老力學(xué)之為新力學(xué)提供的基礎(chǔ)，一方面努力構(gòu)造新力學(xué)的公理化結(jié)構(gòu)，這當(dāng)然得益于他超凡的數(shù)學(xué)能力。當(dāng)時(shí)有此能力的前輩還有希爾伯特與外爾，但那兩位志不在此，于是這重任就歷史地落在了馮?諾伊曼的肩上。看得出，馮?諾伊曼還是蠻善于同同事合作的，但這種合作卻絲毫不會(huì)引起人們對(duì)其本人能力的懷疑。馮?諾伊曼在物理方面的主要合作者如維格納等也都用其他的成就證明了各自的能力。論及馮?諾伊曼對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)，維格納的評(píng)價(jià)是，僅憑此就可以確立他(馮?諾伊曼)在當(dāng)代理論物理領(lǐng)域的杰出地位(…would have secured him a distinguished position in present day theoretical physics)。

2 馮?諾伊曼對(duì)創(chuàng)立量子力學(xué)的貢獻(xiàn)

馮?諾伊曼對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)一來(lái)是偏數(shù)學(xué)的，公式很多，二來(lái)文章又多又長(zhǎng)，限于篇幅，本文只能對(duì)選取的幾篇文章作簡(jiǎn)要介紹，感興趣的讀者請(qǐng)參閱馮?諾伊曼的文集(John von Neumann: Collected Works)。

2.1　量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

馮?諾伊曼甫一接觸量子力學(xué)，就迅速對(duì)量子力學(xué)做出了無(wú)可替代的奠基性工作，在1927年和他人合作了“論量子力學(xué)的基礎(chǔ)”一文，獨(dú)自發(fā)表了“量子力學(xué)的數(shù)學(xué)筑基”一文。{這會(huì)做科學(xué)的人做科學(xué)，結(jié)果就不一樣。Grundlage是名詞，基礎(chǔ)；Begründung，是動(dòng)名詞，意思是筑基這活兒，那可是干科學(xué)之最高層面的活兒。筆者對(duì)這兩者故意作了區(qū)分}。

量子力學(xué)要求新的概念構(gòu)造與問(wèn)題確立。原子的行為同本征值問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)了，特別地，描述系統(tǒng)的特征量的值就是本征值自身(insbesondere sind die Werte der das System beschreibenden characteristischen Gr??en die Eigenwerte selbst)；本征值譜有分立部分和連續(xù)部分，經(jīng)典與量子的融合在原子世界里實(shí)現(xiàn)；量子力學(xué)有跡象表明，基本定律可能只能概率地表達(dá)；本征值問(wèn)題可以出現(xiàn)于無(wú)窮矩陣，也可以出現(xiàn)于微分方程中，兩者是等價(jià)的。兩者各有困難。矩陣形式總要求能量矩陣的對(duì)角化，而這只當(dāng)沒(méi)有連續(xù)譜的情形才可能，為此可能要用到連續(xù)矩陣知識(shí)；微分方程方法則不可避免地遭遇非真的自身函數(shù)(uneigentliche Eigenfunktionen)。{Eigenfunktion，本征函數(shù)，被算符作用后還是自身的函數(shù)}在約當(dāng)?shù)睦碚撃抢铮恢皇且?jì)算變換算符，還要計(jì)算變量的取值范圍；兩種量子力學(xué)方法有一個(gè)共同的缺陷，其在計(jì)算中原則上總會(huì)代入不可觀測(cè)的、物理無(wú)意義的因子，即波函數(shù)的相因子eφi是不確定的(unbestimmt bleiben)，在χ維退化{entarted, degenerate簡(jiǎn)并}的情形下互相之間只能決定到差一個(gè)χ維正交變換。

這篇文章包括如下小節(jié)：導(dǎo)言(Eingleitung)，希爾伯特空間(der Hilbertsche Raum)，算符算法(Operatorenkalkül)，本征值問(wèn)題(das Eigenwertproblem)，算符的絕對(duì)值(der Absolutwert eines Operators)，量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)(der statistische Ansatz der Quantenmechanik)，應(yīng)用(Anwendung)，總結(jié)(Zusammenfassung)。從這些小節(jié)的名字可以大概了解量子力學(xué)所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在p.25頁(yè)上馮?諾伊曼定義了Einzeloperator{筆者不知道怎么翻譯}，即滿足關(guān)系EE=E的算符E。顯然1-E也是這樣的算符。一般對(duì)稱算符的本征值問(wèn)題可以借助Einzeloperator表示，對(duì)連續(xù)譜情形也有效。這一點(diǎn)很重要。

馮?諾伊曼的這篇文章是他在這個(gè)方向上的研究的序曲。

2.2　量子力學(xué)概率論

在1927年的“量子力學(xué)的概率論構(gòu)造”一文中，馮?諾伊曼提出了密度算符的概念。朗道(Лев Давидович Ландау,1908—1968)也獨(dú)立提出過(guò)這個(gè)概念[A system cannot be uniquely defined in wave mechanics; we always have a probability ensemble(statistical treatment). 見(jiàn) The damping problem in wave mechanics, in D. ter Haar (ed.),Collected Papers of L. D. Landau, Gordon and Breach (1965) pp. 8—18]，而遲至1946年布洛赫又重新提出一回[Felix Bloch, Nuclear induction,Phys. Rev.70, 460(1946)]。密度矩陣同經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)里的相空間概率測(cè)度(位置、動(dòng)量的概率分布)相對(duì)應(yīng)，是維格納1932年提出的[E. Wigner, On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium,Phys. Rev.40, 749—759(1932)]，這篇文章與馮?諾伊曼的熱系綜一文有關(guān)。

馮?諾伊曼指出，量子力學(xué)有兩套理論，波理論和變換理論也即統(tǒng)計(jì)理論。統(tǒng)計(jì)理論是由玻恩、泡利和倫敦(Fritz London，1900—1954)開啟，由狄拉克和約當(dāng)完成的。它要回答的問(wèn)題是，對(duì)于給定的物理系統(tǒng)，某個(gè)物理量取哪些值？這些值的先驗(yàn)概率是多少？在別的量的值給定的前提下，這個(gè)概率如何改變？

構(gòu)造量子的概率理論時(shí)，我們假設(shè)通常的概率計(jì)算無(wú)條件成立(Wir machen dabei die Annahme der unbedingt Gültigkeit der gew?hlichen
Wahrschein-lichkeitsrechunung)。{筆者借機(jī)強(qiáng)調(diào)一遍，量子力學(xué)相對(duì)于經(jīng)典物理沒(méi)有革命} 根據(jù)量子力學(xué)，(作用于波函數(shù)上的)線性對(duì)稱泛函算符(linearer symmetrischer Funktionaloperator)是可賦予物理量的數(shù)學(xué)對(duì)象。一個(gè)算符，只當(dāng)它的本征值問(wèn)題至少是可解的，它才是對(duì)量子力學(xué)有用的(Ein Operator ist aber für die Quantenmechanik nur dann brauchbar, wenn sein “Eigenwertprobem” gel?st, oder zum mindesten l?sbar ist)。這樣的算符稱為正規(guī)的。很可能所有的線性對(duì)稱算符都是正規(guī)的。

接下來(lái)，馮?諾伊曼探討量子測(cè)量，為此引入了密度矩陣Sμν，系綜{Gesamtheit, ensemble。請(qǐng)一定記住系綜、集合是同一個(gè)詞!}的期望值總可表示為

，而矩陣uνμ屬于一個(gè)線性對(duì)稱算符。限于篇幅，此處無(wú)法多介紹密度矩陣?yán)碚摚信d趣的讀者請(qǐng)參閱相關(guān)專著[比如J. J. Sakurai, Jim Napolitano,Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley(2011)]。簡(jiǎn)單提取馮?諾伊曼這篇論文的結(jié)論如下。通常的概率計(jì)算同量子力學(xué)之間不止是自洽的，而且考慮到量子力學(xué)的前提，它還是唯一可能的答案(sogar die eingzig m?gliche L?sung ist)。所謂的量子力學(xué)前提就是量子測(cè)量假設(shè)，有以下三點(diǎn)：

(1)每一個(gè)測(cè)量都改變被測(cè)對(duì)象。兩個(gè)測(cè)量總互相干擾，除非可以用單一的測(cè)量替代；

(2)測(cè)量所造成的改變是這樣的，此一測(cè)量總是有效的，即如果此后直接重復(fù)測(cè)量會(huì)得到同樣的結(jié)果；

(3)物理量用泛函算符描述。

這些原則讓量子力學(xué)同它的統(tǒng)計(jì)相洽(Diese Principien bringen bereits die Quantenmechanik und ihrer Statistik unweigerlich mit sich)。

此后馮?諾伊曼多次發(fā)表相關(guān)文章，最后集中體現(xiàn)在1932年的專著中。

圖4　馮?諾伊曼的“量子力學(xué)系綜的熱力學(xué)”一文p.277上的截圖

2.3　希爾伯特空間

如果要給量子力學(xué)指定幾個(gè)關(guān)鍵詞，希爾伯特空間肯定位列前茅。1929年，在玻恩造出量子力學(xué)一詞的第六個(gè)年頭，馮?諾伊曼提出了抽象希爾伯特空間這個(gè)概念。

希爾伯特空間是定義了內(nèi)積的函數(shù)矢量空間。希爾伯特空間概念的提出是線的代數(shù)(linear algebra)、矢量空間、泛函分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的自然發(fā)展。馮?諾伊曼1929年造了抽象希爾伯特空間(der abstrakte Hilbertsche Raum)一詞，從此“希爾伯特空間”就成了量子力學(xué)施展拳腳的舞臺(tái)。在馮?諾伊曼之前，外爾和維納(Norbert Wiener, 1894—1964)都曾從物理角度研究過(guò)希爾伯特空間。在量子力學(xué)語(yǔ)境中提及的希爾伯特空間，大約就是平方可積函數(shù)空間(space of squareintegrable functions)。據(jù)說(shuō)馮?諾伊曼在報(bào)告中提到希爾伯特空間時(shí)，希爾伯特就坐在下面。希爾伯特說(shuō)“希爾伯特空間？我怎么不知道。”

抽象希爾伯特空間是馮?諾伊曼在從柏林發(fā)出的文章“厄米特泛函算符的一般本征值理論”(收稿日期為1928年12月15日)中提出的。我們的函數(shù)空間，如果以分立空間1，2，…為基

所有的函數(shù)流形都是同構(gòu)的(alle unsere Funktionen Mannigfaltigkeiten isomorph sind)。它們都應(yīng)作為一般抽象希爾伯特空間的特殊實(shí)現(xiàn)來(lái)看待，其僅由“內(nèi)稟”性質(zhì)A-E表征(Und sie alle sollen als spezielle Verwirklichungen des allgemeinen abstrakten Hilbertschen Raumes

angesehen werden, der durch die “inneren” EigenschaftenAbisEallein characterisiert ist)。我們用如下五個(gè)性質(zhì)表征抽象(復(fù))希爾伯特空間[Wir charakterisieren den abstrakten (komplexen) Hilbertschen Raum durch fünf Eigenschaften…]：

(A)希爾伯特空間H是線性空間(Hist ein linearer Raum)。也就是空間中有元素0，有元素(矢量)間的加減，f+g，f-g；此外對(duì)元素還有乘法，af，其中a是復(fù)數(shù)；

(B)在希爾伯特空間H中存在內(nèi)積，同矢量計(jì)算的內(nèi)積可相類比，其產(chǎn)生一個(gè)度規(guī)(Es gibt inHein, zu dem der Vektorrechnung analoges, inneres Produkt, das eine Metrik erzeugt)；

(C)在|f-g|度規(guī)下希爾伯特空間H是可分割的，即一些可數(shù)的集合在H中處處是稠的(In der Metrik |f-g| istHseparabel. D. h.: eine gewisse abz?hlbare Menge ist inHüberalldicht)；

(D)希爾伯特空間H擁有任意(有限)多的線性獨(dú)立元素[Hbesitzt beliebig(endlich!) viele lin. unabh. Elemente]；

(E)希爾伯特空間H是完備的。

這樣的關(guān)于希爾伯特空間的表述，當(dāng)然還有更多的細(xì)節(jié)內(nèi)容，如果在學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)多少了解一點(diǎn)，估計(jì)會(huì)覺(jué)得量子力學(xué)還蠻可親的。

在1929年的“無(wú)限矩陣?yán)碚摗币晃闹?收稿日期是1928年10月22日。詭異的是，這一篇文章引用了收稿日期為1928年12月15日“厄米特泛函算符的一般本征值理論”的發(fā)表版)，馮?諾伊曼在這篇文章中把算符理論移植到了矩陣上(die Theorie von den Operatoren auf die Matrizen zu übertragen)。在有限維空間情形，算符—矩陣關(guān)系是簡(jiǎn)單明了的(ein einfaches und zwar ein eindeutiges ist)。但是在無(wú)界算符情形，算符與矩陣的關(guān)系就

義，即便如此，在這些矩陣的變換理論中也會(huì)出現(xiàn)一系列的收斂困難與限制(treten in der Transformationstheorie dieser Matrizen eine Reine von Konvergenzschwierigkeiten und Beschr?nkungen auf)。

馮?諾伊曼說(shuō)，相關(guān)研究同新的量子理論有密切聯(lián)系，因?yàn)樗^的矩陣?yán)碚摵妥儞Q理論之?dāng)?shù)學(xué)工具就是無(wú)限厄米特矩陣的酉變換。最獨(dú)特的是，厄米特矩陣相對(duì)來(lái)說(shuō)行為是足夠理性的，病態(tài)的本質(zhì)源頭是酉變換。這篇關(guān)于厄米特算符矩陣表示的文章，同前述關(guān)于抽象希爾伯特空間的論述放到一起，就能獲得關(guān)于矩陣表示的大致基礎(chǔ)。具體細(xì)節(jié)，有興趣的讀者請(qǐng)參閱原文。{關(guān)于矩陣力學(xué)，請(qǐng)參閱海森堡/玻恩—約當(dāng)/玻恩—海森堡—約當(dāng)/泡利/狄拉克的文章，薛定諤證明與波動(dòng)力學(xué)等價(jià)性的文章，馮?諾伊曼關(guān)于希爾伯特空間—矩陣表示的文章，以及外爾將群論引入量子力學(xué)表示(群的矩陣表示)的文章，就能有個(gè)大概感覺(jué)了。}

順帶說(shuō)一句，希爾伯特空間和厄米特線性算符(Hermitesche linear Operatoren)相聯(lián)系。厄米特(Charles Hermite,1822—1901)是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，其在代數(shù)、數(shù)論、不變理論、正交多項(xiàng)式、二次型等方面的成果給其后的數(shù)學(xué)、物理都留下了深刻的個(gè)人烙印，特別地，在量子力學(xué)語(yǔ)境中我們必然會(huì)遇到Hermite polynomials, Hermitian operators等概念。我不知道把法文的Hermite譯成“厄米、厄密”是出于什么考量，我記得以前有過(guò)“厄米特”的正確譯法。本人在此后文章中會(huì)使用“厄米特”的譯法，如厄米特多項(xiàng)式、厄米特算符、非厄米特矩陣等。所謂的厄米特算符，即self-adjoint operator，滿足

oder Hermitesch，德語(yǔ)動(dòng)詞jungieren，大意是結(jié)合。

2.4　量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1932年，馮?諾伊曼的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書正式出版，其可看作是對(duì)他此前幾年關(guān)于量子力學(xué)工作的總結(jié)。全書262頁(yè)，分為十章，分別是：

I.導(dǎo)言

1.變換理論的緣起

2.量子力學(xué)的最初表述

3.兩個(gè)理論之等價(jià)性：變換理論

4.兩個(gè)理論之等價(jià)性：希爾伯特空間

II.抽象希爾伯特空間通論

1.希爾伯特空間的特征

2.希爾伯特空間的幾何

3.條件A-E的說(shuō)明

4.閉合線性流形

5.希爾伯特空間的算符

6.本征值問(wèn)題

7.(本征值問(wèn)題) 續(xù)

8.本征值問(wèn)題的定向考察

9.本征值問(wèn)題唯一性與可解性說(shuō)明

10.對(duì)易算符

11.跡

III.量子統(tǒng)計(jì)

1.量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)表示

2.統(tǒng)計(jì)意義

3.同時(shí)可測(cè)量性與一般的可測(cè)量性

4.不確定性關(guān)系

5.作為表示的投影算符

6.光的理論

IV.理論的推論構(gòu)造

1.統(tǒng)計(jì)理論的原理性基礎(chǔ)

2.統(tǒng)計(jì)公式證明

3.實(shí)驗(yàn)的推論

V.一般性探討

1.測(cè)量與可逆性

2.熱力學(xué)視角下的考察

3.可逆性與平衡問(wèn)題

4.宏觀測(cè)量

VI.測(cè)量過(guò)程

1.問(wèn)題的表述

2.耦合系統(tǒng)

3.測(cè)量問(wèn)題討論

注釋

此書的內(nèi)容基于馮?諾伊曼自己此前研究的內(nèi)容，后繼的量子力學(xué)文獻(xiàn)都會(huì)提及，此處不多討論。有一點(diǎn)區(qū)別是，提及希爾伯特空間、算符理論時(shí)一般不對(duì)思想來(lái)源作交待，但提及量子力學(xué)的測(cè)量公設(shè)時(shí)則會(huì)強(qiáng)調(diào)是“馮?諾伊曼的測(cè)量公設(shè)”。一般文獻(xiàn)論及馮?諾伊曼的測(cè)量公設(shè)就簡(jiǎn)單幾句，我們看到此書中馮?諾伊曼可是專門拿出來(lái)兩章討論這個(gè)問(wèn)題的。測(cè)量，對(duì)于量子力學(xué)和經(jīng)典物理都一樣，從來(lái)就不是一個(gè)簡(jiǎn)單的事情。

關(guān)于I+II的能量算符H描述它們的時(shí)間演化過(guò)程。接下來(lái)有很復(fù)雜的討論，但是人們就記住了對(duì)系統(tǒng)關(guān)于算符A所對(duì)應(yīng)的物理量的測(cè)量讓系統(tǒng)隨機(jī)地落入了A的某個(gè)本征態(tài)，緊接著的同樣測(cè)量得到相同的結(jié)果。馮?諾伊曼考慮了能想到的自然的三個(gè)不同程度之因果性或者非因果性(drei Stufen der Kausalit?t oder Akausalit?t denkbar)：(1)完全統(tǒng)計(jì)的(ganz statistisch)。第一次測(cè)量結(jié)果是統(tǒng)計(jì)的、有分布的，緊接著的第二次測(cè)量還是統(tǒng)計(jì)的、有分布的；(2)第一次測(cè)量結(jié)果是統(tǒng)計(jì)的、有分布的，緊接著的第二次測(cè)量的結(jié)果強(qiáng)制性地(gezwungen ist)與第一次測(cè)量相同；(3)從一開始就是遵從因果律的。可能性1可以認(rèn)為是被康普頓實(shí)驗(yàn)給反駁了的，可能性3不具有量子力學(xué)的特點(diǎn)，所以選擇是2。

馮?諾伊曼的測(cè)量理論在后世引起了很多討論，也被挖掘出了很多弱點(diǎn)來(lái)。比如，馮?諾伊曼的分析只考慮理想測(cè)量，要求待測(cè)量系統(tǒng)的本征態(tài)同測(cè)量設(shè)備的指示變量(pointer observable)的本征態(tài)要嚴(yán)格關(guān)聯(lián)。也有人啥也不管，儀器說(shuō)啥就是啥，哪管什么儀器指示變量的本征態(tài)。有趣的是，馮?諾伊曼的測(cè)量理論，薛定諤在1952年說(shuō)他是最近才被人告知的。1952年啊，那時(shí)候馮?諾伊曼的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》已經(jīng)出版20年了。薛定諤的觀點(diǎn)是，我就不信真有這樣的測(cè)量設(shè)備(I do not believe any real measuring device is of this kind)。[Erwin Schr?dinger,The Interpretation of Quantum Mechanics, Woodbridge (1995) p.83]。懂量子力學(xué)妨礙了薛定諤相信有這樣的測(cè)量設(shè)備。

馮?諾伊曼的測(cè)量公設(shè)，從其試圖建立的量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)來(lái)看，有其合理性。然而，現(xiàn)實(shí)的世界要復(fù)雜得多，把它當(dāng)作實(shí)際的量子測(cè)量應(yīng)遵從的法則有些勉強(qiáng)。一個(gè)尷尬的局面是，很多量子測(cè)量我稱其是滅跡式測(cè)量(trace-demolishing measurement)，比如用光電倍增管測(cè)光子(我們假設(shè)光存在光子態(tài))，一次測(cè)量后那光子就沒(méi)了，不會(huì)留下一個(gè)處于某個(gè)被測(cè)量選擇的本征態(tài)的光子。所謂光子的性質(zhì)，取決于我們關(guān)于光—物質(zhì)相互作用這個(gè)難題的理解，而且似乎沒(méi)見(jiàn)到可用來(lái)修正我們理解的其他途徑。

3 多余的話

馮?諾伊曼是少年天才(child prodigy)，是那類geek and nerd，即性格古怪的人、不通人情世故的人，這在講究人情世故的地方是致命的缺點(diǎn)。讀化工的馮?諾伊曼憑借數(shù)學(xué)成就得到希爾伯特這樣的數(shù)學(xué)大神的青睞，這讓我傾向于認(rèn)為真正的大家還是期望看到少年天才脫穎而出的。韓愈老師說(shuō)“千里馬常有，而伯樂(lè)不常有”，感慨有伯樂(lè)這種水平和人品的專業(yè)人士的缺乏。神童培養(yǎng)與相馬不同，世間神童常有，能看出神童是神童的人也不缺，但是能讓神童成長(zhǎng)為大才的MacTutor卻罕有。能看出馮?諾伊曼的數(shù)學(xué)天才的，不光有隔壁村的張屠戶，還得有哥廷恩的希爾伯特，這才是關(guān)鍵。

馮?諾伊曼在1914—1921年間就讀于布達(dá)佩斯的路德教會(huì)中學(xué)，和西拉德(在校時(shí)間：1908—1916)、泰勒(在校時(shí)間：1918—1926)和維格納(在校時(shí)間：1913—1921)有交疊，他們四人都優(yōu)秀得被稱為“火星人”。西拉德(Leo Szilard，1898—1964)就是鼓動(dòng)愛(ài)因斯坦寫信督促美國(guó)開始原子彈工程的那位，泰勒(Edward Teller，1908—2003)是后來(lái)的氫彈項(xiàng)目首席科學(xué)家，維格納(Eugene Wigner，1902—1995)也是量子力學(xué)奠基人之一。這四個(gè)人的共同特點(diǎn)是，都是在匈牙利讀的德語(yǔ)中學(xué)，在德國(guó)大學(xué)學(xué)會(huì)的物理——其中馮?諾伊曼和維格納、泰勒出自哥廷恩，用德語(yǔ)發(fā)表論文成名的，還有他們都是曼哈頓工程的干將。

馮?諾伊曼的事跡讓筆者更加關(guān)注強(qiáng)記憶和多語(yǔ)言能力對(duì)學(xué)者的意義。強(qiáng)記憶力的意義不必多說(shuō)，在我們這里博聞強(qiáng)記已是成語(yǔ)，蘇軾和王安石的“如意君安否？”是流傳千年的機(jī)鋒。但是，由于我國(guó)幅員遼闊、文化一統(tǒng)，對(duì)多語(yǔ)言能力的意義可能認(rèn)識(shí)不足。就數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)而言，使用單一語(yǔ)言讓我們吃虧不少。試分析馮?諾伊曼的句子logics corresponds to set theory and probability theory corresponds to measure theory，我們把它翻譯成“邏輯對(duì)應(yīng)集合論，概率論對(duì)應(yīng)測(cè)度論”一點(diǎn)問(wèn)題沒(méi)有，但是少會(huì)意了很多。雖然英文里的集合是set，系綜是ensemble，但是在法語(yǔ)里都是ensemble，在德語(yǔ)里都是Gesamtheit(全體)，你讀馮?諾伊曼的量子統(tǒng)計(jì)論述，會(huì)發(fā)現(xiàn)人家把物理系統(tǒng)的系綜和系綜之某物理量本征值的集合自然地關(guān)聯(lián)到一起，因?yàn)樗褪峭粋€(gè)詞。知道這一點(diǎn)，再回頭看馮?諾伊曼的熵公式S=-NkTr(UlnU)，會(huì)不會(huì)能多看出點(diǎn)什么。用漢語(yǔ)讀到測(cè)度論，誰(shuí)會(huì)以為這和量子力學(xué)的測(cè)量公設(shè)有關(guān)系呢，可在馮?諾伊曼那里measure theory 和 measurement postulate of quantum mechanics就是一回事兒啊。

馮?諾伊曼擁有過(guò)目不忘和逐字逐句過(guò)目成誦的本領(lǐng)，這值得說(shuō)道說(shuō)道。過(guò)目不忘、博覽群書以待將來(lái)融會(huì)貫通，這應(yīng)該成為培養(yǎng)少年的程式。清末福州馬尾學(xué)堂梳著長(zhǎng)辮子的中國(guó)少年也是讀法文的高等數(shù)學(xué)書的。我們的社會(huì)要提倡讀根本讀不懂的書的理念，也要提倡萬(wàn)不得已才讀譯文的理念。如果吃個(gè)肉夾饃我們都追求原汁原味，那么對(duì)于知識(shí)，尤其是那些帶思想的高品質(zhì)的知識(shí)，原汁原味就是起碼要求。關(guān)于人才培養(yǎng)，筆者覺(jué)得有必要提倡過(guò)目不忘、過(guò)目成誦、一學(xué)就會(huì)、一做就成的優(yōu)良作風(fēng)！

數(shù)學(xué)和物理在有些地方被污蔑為枯燥無(wú)趣的學(xué)科，也可以理解。審美，駐足在智力的邊界上。人們不欣賞自己看不懂的事物。其實(shí)，自然之道是簡(jiǎn)單的，簡(jiǎn)單性是自然科學(xué)的指導(dǎo)原則，已經(jīng)簡(jiǎn)單到不能更簡(jiǎn)單的地步。馮?諾伊曼說(shuō)，“If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.”如果對(duì)簡(jiǎn)單而美的事物，比如數(shù)學(xué)，提不起興趣，那是真沒(méi)有興趣了。

在一般的物理學(xué)家那里，數(shù)學(xué)只是不成套、不順手的工具。在馮?諾伊曼那里，他為量子力學(xué)奠立了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他也開啟了從量子論出發(fā)做精確數(shù)學(xué)的路子，他受新穎物理概念的啟發(fā)更加深入廣泛地研究關(guān)于無(wú)窮維空間及作用于其上的算符的純粹數(shù)學(xué)。如前所述，這里的基本直覺(jué)(insight，內(nèi)視、內(nèi)視而來(lái)的覺(jué)悟)是，希爾伯特空間中的矢量幾何同量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)之結(jié)構(gòu)形式上具有相同的性質(zhì)。馮?諾伊曼的研究套路佐證了筆者的觀點(diǎn)，即數(shù)學(xué)不止是物理的表示語(yǔ)言與研究工具，它也可以是物理的研究結(jié)果。計(jì)算機(jī)應(yīng)該是數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的成果。馮?諾伊曼后來(lái)成了計(jì)算領(lǐng)域，包括硬件設(shè)計(jì)、理論計(jì)算科學(xué)到計(jì)算科學(xué)哲學(xué)等方面的奠基人(founding figure，圖5)，就不令人奇怪了。

圖5　馮?諾伊曼在普林斯頓高等研究院的計(jì)算機(jī)旁

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