拓?fù)涫恰安涣砍叽绲膸缀螌W(xué)”，那么它的核心內(nèi)容，主要方法是什么？

如果你問(wèn)羅巴切夫斯基，他會(huì)說(shuō)“附貼性是物體的一個(gè)特殊的屬性。如果我們把這個(gè)性質(zhì)掌握，而把物體其他的一切屬性，不問(wèn)是本質(zhì)的或偶然出現(xiàn)的，均不予考慮，那么就說(shuō)所考慮的是幾何物體。”

01

拓?fù)涞难芯繉?duì)象

拓?fù)鋵W(xué)研究幾何圖形的拓?fù)湫再|(zhì)，即在雙向連續(xù)變換保持不變的性質(zhì)，它允許拉伸、扭曲，但不能切斷和黏合。如果從羅巴切夫斯基的視角看，就是不改變（不破壞也不增添）各部分的附貼關(guān)系。這一學(xué)科本質(zhì)上是屬于20世紀(jì)的抽象學(xué)科，過(guò)去一個(gè)長(zhǎng)時(shí)期中叫做位置分析，現(xiàn)在叫做拓?fù)洹５渌枷朊妊繀s可以追溯到歐拉的哥尼斯堡七橋問(wèn)題（1736年，如圖1）、地圖四色問(wèn)題（1852年）和莫尼烏斯帶（1858年）等問(wèn)題的研究。

七橋問(wèn)題要求設(shè)計(jì)一條散步路線，使河上每個(gè)橋都只走過(guò)一次，這樣的路徑稱為歐拉路徑，其存在性依賴于圖的整體連接方式和各頂點(diǎn)的度數(shù)，這些都是拓?fù)湫再|(zhì)。

奇妙的是拓?fù)鋵W(xué)在20世紀(jì)的發(fā)展，卻分裂成兩個(gè)有些分立的部分：點(diǎn)集拓?fù)浜徒M合拓?fù)?/strong>。實(shí)際上，這兩個(gè)分支從看待幾何圖形的觀點(diǎn)到發(fā)展動(dòng)力都不相同。前者把幾何圖形看作是點(diǎn)的集合，又常把這整個(gè)集合看作是一個(gè)空間。后者把幾何圖形看作是由較小的構(gòu)件組成的，正如墻壁是用磚砌成的一樣。

到現(xiàn)在，拓?fù)鋵W(xué)又有點(diǎn)集拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)洹⑽⒎滞負(fù)洹缀瓮負(fù)涞炔煌姆种В?jiǎn)要介紹下它們分別在研究什么。

點(diǎn)集拓?fù)?/strong>的主要目的是對(duì)拓?fù)鋵W(xué)進(jìn)行公理化，通過(guò)最一般的框架（如開(kāi)集公理）抽象化“鄰近性”和“連續(xù)性”，為其他分支提供基礎(chǔ)。

代數(shù)拓?fù)?/strong>從組合拓?fù)浒l(fā)展而來(lái)，現(xiàn)在主要是通過(guò)代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)不變量區(qū)分拓?fù)淇臻g，例如二維緊曲面分類。

微分拓?fù)?/strong>研究微分流形及其光滑映射的整體性質(zhì)，討論拓?fù)淞餍紊衔⒎纸Y(jié)構(gòu)的存在唯一性、光滑映射的性質(zhì)和流形的整體不變量等問(wèn)題。

幾何拓?fù)?/strong>通過(guò)幾何方法（如曲率、度量），研究低維流形（如二維曲面、三維和四維流形）的幾何結(jié)構(gòu)及分類。由佩雷爾曼證明的三維龐加萊猜想，便是其中一個(gè)著名問(wèn)題。

下面我們主要介紹20世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的點(diǎn)集拓?fù)浜痛鷶?shù)拓?fù)洌运鼈兊难芯克悸窞槔w會(huì)整個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的關(guān)注點(diǎn)。

02

點(diǎn)集拓?fù)?/strong>

注意到拓?fù)渥儞Q就是雙向連續(xù)的一一映射，那么下個(gè)問(wèn)題就是怎么刻畫(huà)連續(xù)變換？

連續(xù)性到底是什么？要怎么刻畫(huà)連續(xù)性？這是個(gè)非常深刻而又重要的問(wèn)題。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到點(diǎn)集論是連續(xù)性研究中的基本途徑。點(diǎn)集只是互不相關(guān)的一堆點(diǎn)，而空間則通過(guò)某種捆扎的概念使點(diǎn)與點(diǎn)之間發(fā)生關(guān)系；這是空間不同于點(diǎn)集的關(guān)鍵。例如歐氏空間中距離這一概念就表明點(diǎn)與點(diǎn)之間有多遠(yuǎn)，尤其是使我們能定義一個(gè)點(diǎn)集的極限點(diǎn)，進(jìn)而可以刻畫(huà)連續(xù)。

由于想把康托爾的集合論和函數(shù)空間的研究統(tǒng)一起來(lái)，弗雷歇首先在1906年發(fā)動(dòng)了抽象空間的研究。弗雷歇指出，這捆扎概念不必是歐幾里得的距離函數(shù)。他提取距離這一概念的核心內(nèi)容，引進(jìn)了度量的概念。對(duì)于度量空間，說(shuō)到一個(gè)點(diǎn)的鄰域時(shí)，指的是離開(kāi)這點(diǎn)不到某個(gè)量\epsilon那么遠(yuǎn)的全部點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)給定的點(diǎn)集，甚至不必引進(jìn)度量，還能用一些方式來(lái)確定某些子集作為鄰域。這樣的空間叫做具有鄰域拓?fù)涞目臻g。無(wú)論是距離、度量還是鄰域，都是在刻畫(huà)“附貼性”。如果用萊布尼茨在微積分中的觀點(diǎn)看，就是在刻畫(huà)“點(diǎn)的相鄰”。

正是豪斯多夫1914年在他的著作《點(diǎn)集論綱要》中使用了鄰域概念，并且根據(jù)這個(gè)概念建立了抽象空間的完整理論。有了鄰域的概念就可以定義開(kāi)集、閉集、緊集、連通，還能引進(jìn)連續(xù)變換和同胚等一系列的概念，并去發(fā)現(xiàn)在連續(xù)變換和同胚下保持不變的性質(zhì)。所以《點(diǎn)集論綱要》也標(biāo)志著點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的正式誕生。

隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的一些拓?fù)湫再|(zhì)（緊致性、可分性、連通性等）進(jìn)行了深入考察。20世紀(jì)30年代中期起，法國(guó)布爾巴基學(xué)派的系統(tǒng)研究更使點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟，成為二戰(zhàn)后數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科。

但點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的主要?jiǎng)恿κ?strong>公理化，希望直接用公理法來(lái)定義附貼性，進(jìn)而引出拓?fù)淇臻g的概念——近代拓?fù)鋵W(xué)中最一般的空間概念。這是20世紀(jì)數(shù)學(xué)抽象化的一個(gè)碩果，是19世紀(jì)末康托的集合論觀點(diǎn)和希爾伯特的公理化方法相互結(jié)合所引出的一大抽象分支。（在20世紀(jì)上半葉，實(shí)變函數(shù)論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)等具有標(biāo)志性的四大抽象分支崛興。）

03

組合拓?fù)?/strong>

組合拓?fù)湟趺慈パ芯客負(fù)湫再|(zhì)呢？幾何圖形的第一個(gè)組合性質(zhì)是歐拉公式，即大家熟悉的V-E+F=2。它屬于拓?fù)湫再|(zhì)，因?yàn)樵谕苟嗝骟w受到任意拓?fù)渥儞Q時(shí)，這個(gè)公式仍然成立。

但真正給拓?fù)溲芯刻岢銮‘?dāng)思路的是莫比烏斯，他在1863年強(qiáng)調(diào)把一個(gè)多面體的表面看成二維多邊形的一個(gè)集合，既然多邊形能剖分成三角形，那原圖形是三角形的一個(gè)集合。曲面拓?fù)鋵W(xué)的組合方法就在于用對(duì)三角剖分的研究來(lái)代替對(duì)曲面的研究。當(dāng)然關(guān)注的是不依賴于三角剖分的選取的那種性質(zhì)。

引入三角剖分后有什么好處呢？以前只有凸多面體有歐拉示性數(shù)，現(xiàn)在任意曲面都可以有它的三角剖分的歐拉示性數(shù)了，例如球面的三角剖分的歐拉示性數(shù)是2（讀者可以自己驗(yàn)證）。三角剖分還有一個(gè)重要性質(zhì)，即可定向性。歐拉示性數(shù)和可定向/不可定向性給出了關(guān)于閉曲面的所謂拓?fù)洳蛔兞康囊粋€(gè)完全系，即兩個(gè)閉曲面同胚當(dāng)且僅當(dāng)它們的三角剖分具有相同的歐拉示性數(shù)，并且同為可定向或不可定向的。這樣可以感受到，點(diǎn)集拓?fù)浜徒M合拓?fù)溆貌煌南敕ㄈゴ_定一個(gè)變換是否為拓?fù)渥儞Q，以及研究拓?fù)湫再|(zhì)。

如果能夠把閉曲面某個(gè)三角剖分里所有的三角形都給以定向，使得每?jī)蓚€(gè)具有公共邊的三角形都具有相符的定向，則這個(gè)三角剖分叫作可定向的。如果兩個(gè)三角形所取定的定向在公共邊上所誘導(dǎo)的定向相反，則這兩個(gè)三角形所取的定向是相符的。

實(shí)際上，雙側(cè)曲面的任何三角剖分是可定向的，單側(cè)曲面的任何三角剖分是不可定向的。

組合方法更大的意義，在于它開(kāi)辟了應(yīng)用某些代數(shù)方法來(lái)解決拓?fù)鋯?wèn)題的可能性。為什么從單純的幾何視角向代數(shù)視角轉(zhuǎn)變？一是直觀的幾何方法在高維空間中難以操作，而代數(shù)方法則不受維度限制；二是通過(guò)抽象化統(tǒng)一處理不同的幾何對(duì)象，可以系統(tǒng)地計(jì)算拓?fù)洳蛔兞?/strong>。因此將拓?fù)鋵W(xué)的研究對(duì)象和研究方法代數(shù)化，就顯得格外重要。

從三角剖分這個(gè)組合方法出發(fā)，龐加萊首先定義了圖形的邊緣、閉鏈、同調(diào)等概念。用“邊緣”來(lái)描述高維流形的邊界，用“閉鏈”來(lái)描述在同調(diào)論中沒(méi)有“邊緣”的鏈，用“同調(diào)”描述定向圖形的邊緣關(guān)系。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，這些概念都是為了刻畫(huà)一個(gè)拓?fù)涞?strong>“洞”的結(jié)構(gòu)。因?yàn)樽钕认到y(tǒng)地一般地探討幾何圖形的組合理論，龐加萊被公認(rèn)為是組合拓?fù)涞牡旎摺?/p>

而后1926年諾特首先洞察到群論在組合拓?fù)鋵W(xué)研究中的重要意義。在她的影響下，霍普夫1928年定義了同調(diào)群。同調(diào)群的引進(jìn)就將拓?fù)鋯?wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象代數(shù)問(wèn)題，同調(diào)論則提供了拓?fù)鋵W(xué)中易于計(jì)算的、常用的不變量。從拓?fù)涞酱鷶?shù)過(guò)渡的另一條途徑是同倫理論，是與流形之間的連續(xù)映射的連續(xù)變形有關(guān)的研究。同調(diào)論與同倫論一起推動(dòng)組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成主要利用抽象代數(shù)方法的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。

04

總結(jié)

面對(duì)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的公理化思想，我們不由得進(jìn)一步思考公理化的意義何在？一方面是它賦予了公理系統(tǒng)的最大的一般性，一方面是人們覺(jué)得抽象而難以理解。面對(duì)組合拓?fù)鋵W(xué)的代數(shù)方法，我們不由得進(jìn)一步思考代數(shù)何以巧妙地成為研究拓?fù)涞闹匾椒ǎ看鷶?shù)、分析、幾何三大數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間何以產(chǎn)生如幾何數(shù)論、代數(shù)拓?fù)洹⒔馕鰯?shù)論等等眾多的交叉分支？

來(lái)源：數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)

編輯：亦山

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