當一個完美的三維球體被輕輕放在斜坡上，它通常會在重力的作用下沿直線滾落——這是物理課上的經典演示，也是人們習以為常的直覺。

然而，真實世界可不像教科書那樣理想。自然界中的物體往往表面不平、形狀略顯不對稱；斜坡也未必光滑均勻。那么，當一個“有點不規則”的物體被放在斜坡上，它還會滾動嗎？又是在什么條件下開始滾動？這背后藏著怎樣的物理規律？

在一項近期發表于《美國國家科學院院刊》的研究中，一個研究團隊結合理論分析、數值模擬和精密實驗，系統探討“不規則滾動”的奧秘。他們不僅發現了這一系統中的“相變”現象，還在看似隨機的滾動中找到了拓撲數學定理的物理映射。

從“不滾”到“滾”

研究團隊首先模擬了輕度不規則的物體（圓柱體或球體）在不同斜坡角度下的滾動行為。他們發現，與對稱均勻的物體總是傾向于滑下不同，這些不規則物體并不總是會滾動。

關鍵在于，當斜坡傾角發生變化時，存在一個臨界傾角——只有當斜坡的角度超過這個臨界值時，物體才會開始滾動。從“不滾”到“滾”之間的過渡，像是一種典型的相變現象。

在這個“滾動相變”的臨界點附近，物體的行為會發生顯著變化：滾動周期變得越來越長，甚至趨近于無窮大；一旦跨越這個臨界角度，滾動則迅速進入一種穩定、持續的滾動狀態。

不規則圓柱體的滾動相變演示。（視頻/Harvard University（harvard.edu））

研究人員提出，“終端滾動速度”可以作為衡量系統有序程度的一個簡單指標。他們發現，這一速度受到物體外形和慣性等因素的影響，是判斷物體從靜止躍遷到滾動的關鍵參數。

軌跡中的秩序

理論還預測，球體和圓柱體的滾動行為本質不同：圓柱體只有一種滾動方式，而球體的滾動方式可以有很多，其路徑受到形狀不規則性和初始角度的共同影響。這就像是一顆棒球與一卷紙巾從斜坡上滾下時所表現出的差異。

為了驗證他們的理論模型，研究人員制作了不規則球體和圓柱體，并讓它們從不同角度的斜坡上自由滾動。他們發現實驗結果與理論預測在運動初期高度一致。在觀察過程中，他們起初看到的是混亂的、不規則的顛簸，就像一只屎殼郎吃力地推動不規則的糞球，看上去毫無規律。

但當他們將滾動軌跡進行數據繪圖分析后，一個清晰的結論浮現：這些混亂的運動，其實隱藏著穩定的周期性。無論球體表面多么不規則，它的運動都是周期性的——換言之，一旦達到穩定狀態，它就會無限地自我重復。此外，研究人員還發現了一個出乎意料的現象：不規則球體在回到相同的狀態之前，在每個運動周期內都需要自我滾動兩次。

這些現象為數學家們早已熟知的一些拓撲學定理——例如毛球定理，提供了生動的物理證明。毛球定理說的是，如果你試圖將球面上的毛發梳平，不管怎么梳，總是會出現至少一個“禿點”或“旋渦”。此外，這些結果也有助于說明物理學中著名的狄拉克盤子戲法：一個帶有弦的旋轉體必須旋轉兩圈，才能回到原始構型。

不規則球體滾動軌跡實驗：標記了位置，并繪制了路徑。（視頻/harvard.edu）

可能的應用

這項研究的靈感，源自于對日常世界中我們習以為常卻從未深究的現象的好奇。這不僅是一項趣味橫生的基礎物理探索，它也具有令人期待的潛在應用。比如在軟體機器人或納米級粒子導航中，不規則性往往不可避免，理解其在外部力作用下的行為，對于控制、預測和設計系統具有重要意義。

非常神奇的是，研究人員能通過這樣一個簡單實驗，看見如此抽象的數學概念……也許還有一些連數學家都還未觸及的問題可以被探索。正如研究人員所說的：“我們做的事情，是用一個簡單的問題，連接起數學與物理的不同分支。誰知道哪一天，這種理解方式會在哪個我們意想不到的領域發揮作用？”

#參考來源：

https://seas.harvard.edu/news/2025/03/getting-ball-rolling

https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2417161122

#圖片來源：

封面圖 & 首圖：Harvard University