作者按

諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）曾經(jīng)說過：“湍流是經(jīng)典物理學(xué)中最后一個(gè)尚未解決的重要問題。”自奧斯本·雷諾（Osborne Reynolds）于1883年在曼徹斯特進(jìn)行圓管流動實(shí)驗(yàn)以來，湍流現(xiàn)象已被廣泛研究近140年，其物理表象背后的數(shù)學(xué)機(jī)理至今仍未明朗。傳聞量子力學(xué)奠基人之一，以不確定性原理名留科學(xué)史的海森堡（Werner Heisenberg），在人生的最后階段曾感慨道：“當(dāng)我見到上帝后，我一定要問他兩個(gè)問題——什么是相對論，什么是湍流。我相信他對第一個(gè)問題應(yīng)該有答案。”海森堡以玩笑似的口吻暗示上帝都不一定理解湍流的數(shù)學(xué)本質(zhì)，可見，這個(gè)難題是如何復(fù)雜與艱巨，令人望而生畏。

如今，三位數(shù)學(xué)家敲開了關(guān)于湍流問題的一個(gè)小口。

編譯 | 嘉偉

三維不可壓縮納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程組的整體光滑解是否存在，是克雷數(shù)學(xué)研究所公布的七大百萬美元“千禧問題”之一。這是一組描述流體運(yùn)動的偏微分方程，用于刻畫水之類的流體的動力學(xué)行為。本質(zhì)上，不可壓縮流體還是相對簡單的研究對象，應(yīng)對可壓縮納維-斯托克斯方程的非線性問題更加棘手。

如果有一場“人類vs.大自然”的求解納維-斯托克斯方程數(shù)學(xué)競賽，那到目前為止，人類可以說是處于完全的下風(fēng)。別說求解，我們就連證明有（光滑）解都做不到——它當(dāng)然有解，每次擰開水龍頭，大自然都相當(dāng)于求解了一遍納維-斯托克斯方程。由于必要的理論工具的缺席，現(xiàn)在流體力學(xué)的研究應(yīng)用是高度依賴實(shí)驗(yàn)的。

阻礙理論進(jìn)步最大的關(guān)隘就是流體中的湍流現(xiàn)象——現(xiàn)代科學(xué)中最大的謎題之一。方程在流體流動順暢時(shí)運(yùn)行良好，而一旦流動變得湍急，流體就會分裂成多個(gè)漩渦，這些漩渦進(jìn)一步分裂成更小的渦流。這種模式將一直持續(xù)下去，直到微觀分子間的碰撞阻止了新渦旋的形成。這些不同尺度的漩渦彼此影響，無法用方程精確預(yù)測流體中某一粒子的運(yùn)動路徑。就像把橡皮小黃鴨或漂流瓶丟進(jìn)洶涌的水流里，沒人能準(zhǔn)確預(yù)判它接下來會漂去哪里。

或許最著名的湍流圖像是文森特·梵高 （Vincent van Gogh）1889年的畫作《星夜》（The Starry Night）。丨圖源：Turbulence - Wikipedia

通過數(shù)據(jù)收集和計(jì)算機(jī)模擬，物理學(xué)家已經(jīng)推斷出湍流的一些特性，但這些結(jié)論往往無法在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明。所以說，湍流的數(shù)學(xué)之謎正是納維-斯托克斯方程組的核心內(nèi)容。

好消息是，2024年有三位數(shù)學(xué)家取得了“湍流數(shù)學(xué)領(lǐng)域里最具影響力的成果之一”。他們的論文Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drift（翻譯過來應(yīng)叫《臨界相關(guān)不可壓縮隨機(jī)漂移中布朗粒子的超擴(kuò)散中心極限定理》）直到不久前才通過了同行評議。其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容無疑是艱深晦澀的，但啟發(fā)數(shù)學(xué)研究的相關(guān)故事則輕松有趣。前沿?cái)?shù)學(xué)研究的歷史背景里，有萬人空巷的氣球競賽，也有漂流瓶、橡皮小黃鴨賦予的形象比喻。雖然我們很難理解問題的解答過程，但至少可以了解這個(gè)問題的來龍去脈，以及其物理含義。

古老的漂流瓶與被大風(fēng)吹走的氣球

傳說中，使用漂流瓶的最早記錄來自古希臘的哲學(xué)家狄奧弗拉斯圖（Theophrastus），他在公元前310年左右投放漂流瓶，以研究海洋洋流的路徑。

到目前為止，有記錄最古老的漂流瓶發(fā)現(xiàn)于2018年，有人撿到了一個(gè)可以追溯到1886年，也就是132年前的漂流瓶，它當(dāng)時(shí)被半埋在西澳大利亞海灘里。后來證實(shí)，瓶子來自印度洋上的一艘輪船，漂流了一個(gè)多世紀(jì)，然后在距離當(dāng)初輪船近950公里的地方被人發(fā)現(xiàn)。瓶中信可不是格蘭特船長的求助信，而是一份問卷調(diào)查！那是德國在1864年啟動的洋流繪制計(jì)劃。

瓶中信一面標(biāo)有日期、拋棄瓶子時(shí)船的確切坐標(biāo)、船名、母港和行駛路線。另一面則是問卷，詢問撿到者的地理位置，并請求其將問卷寄往當(dāng)?shù)氐牡聡I(lǐng)事館。丨圖源：Western Australian Museum

這個(gè)故事雖然有趣，但并非本文重點(diǎn)。或許值得注意的是，為什么那處海灘上只有一個(gè)當(dāng)年的漂流瓶？答案是顯而易見的：時(shí)間過去太久，因?yàn)楦鞣N隨機(jī)性因素，同一批瓶子有充分的時(shí)間漂到不同的地方。

20世紀(jì)的貴格會科學(xué)家劉易斯·弗萊·理查森（Lewis Fry Richardson），在一場當(dāng)年轟動歐洲的氣球航空賽事里，思考了短時(shí)間尺度上的類似問題：為什么16個(gè)載人氣球落到了不同的地點(diǎn)？

那是1906年9月30日下午，20萬巴黎市民聚集在市中心附近，觀看一場氣球賽事的首秀。來自七個(gè)國家的十六位頂級航空家齊聚一堂，目標(biāo)是在不依靠動力系統(tǒng)、僅憑控制氫氣排放閥的條件下，盡可能飛得更遠(yuǎn)。這項(xiàng)比賽后來發(fā)展成為全球最具聲望的氣球競賽——戈登·貝內(nèi)特杯（Gordon Bennett Cup）。

1908年柏林承辦戈登·貝內(nèi)特杯熱氣球飛行比賽時(shí)，名為“征服者”的巨大氣球墜落，“皮”披在柏林市區(qū)的房屋上。丨圖源：Gordon Bennett Cup (ballooning) - Wikipedia

這些高達(dá)50英尺的黃色和琥珀色氣球緩緩升空，天氣平靜如常。但隨著夜幕降臨、觀眾散去，風(fēng)向突變，氣球被猛烈地吹散至諾曼底各地，甚至橫渡英吉利海峽，飄入英國。

看似平凡的現(xiàn)象與非凡的見解

這些航空家無意中參與了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)——這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)最終改變了數(shù)學(xué)物理的進(jìn)程。近20年后，理查森在研究氣象湍流影響時(shí)，在《航空學(xué)雜志》（The Aeronautical Journal）中看到了當(dāng)年這場比賽的著陸點(diǎn)數(shù)據(jù)。他將這些數(shù)據(jù)與自己收集的其他資料一起繪制成圖表，包括火山爆發(fā)后火山灰的飄散路徑以及蒲公英種子隨風(fēng)飛揚(yáng)的軌跡。

現(xiàn)代科學(xué)家研究氣象湍流的途徑之一是監(jiān)測美麗的極地中間層云（Polar mesospheric clouds，PMC），也稱為夜光云（Noctilucent clouds），這是一種罕見的高空云層。科學(xué)家希望應(yīng)用它們來理解大氣中的湍流現(xiàn)象。丨圖源：NASA/PMC Turbo/Joy Ng

在所有案例中，他都觀察到一個(gè)共同的模式：無論是大尺度還是小尺度，大氣的湍流旋渦都能高效地將物體散播出去。理查森據(jù)此提出了一條關(guān)于湍流擴(kuò)散的一般性規(guī)律——通常稱為“三分之四律”（4/3-Law），其核心內(nèi)容可以表述為：

也就是說，尺度越大，粒子擴(kuò)散得越快。這一“超擴(kuò)散”特征正是湍流區(qū)別于普通布朗擴(kuò)散的標(biāo)志。

這一推測與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符，但與描述相類現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程相沖突。數(shù)學(xué)家們至今仍在努力對其進(jìn)行嚴(yán)格證明。

不過和本文相關(guān)的是理查森提出的另一個(gè)關(guān)于湍流的重要觀點(diǎn)。他假設(shè)，如果把兩只橡皮小黃鴨或漂流瓶同時(shí)放入河中，它們之間的距離會比預(yù)期增長得更快——在那些旋渦的相互作用下，這兩只小黃鴨仿佛獲得了額外的推動力。

芝加哥鴨子德比（Chicago Ducky Derby）是一項(xiàng)慈善賽事，每年在芝加哥河舉行，成千上萬只橡皮鴨被投放入水，競速漂流至終點(diǎn)。|圖源：Chicago Sun-Times

這種“加速擴(kuò)散”現(xiàn)象如今被稱為“超擴(kuò)散”（Superdiffusion），已被公認(rèn)為湍流的典型特征。但長期以來，哪怕是在高度簡化的流體模型中，這一現(xiàn)象都未能被嚴(yán)格證明。

直到（隸屬紐約大學(xué)的）柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的兩位數(shù)學(xué)家斯科特·阿姆斯特朗（Scott Armstrong）、艾哈邁德·布-拉比（Ahmed Bou-Rabee）和赫爾辛基大學(xué)數(shù)學(xué)系的圖奧莫·庫西（Tuomo Kuusi）去年針對簡化模型給出了正確的證明。

對于斯科特·阿姆斯特朗來說，這項(xiàng)成果的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于湍流研究。在過去十年中，他一直在推廣一種被數(shù)學(xué)界認(rèn)為是偏門的數(shù)學(xué)技術(shù)，但他堅(jiān)信這種技術(shù)潛力巨大，即使很多同行對此持懷疑態(tài)度。而現(xiàn)在，他憑借這項(xiàng)技術(shù)解決了一項(xiàng)重要的湍流問題，他希望能讓其他數(shù)學(xué)家對此開始改觀。

命運(yùn)的湍流

阿姆斯特朗最初并未預(yù)想會涉足湍流研究。“十年前，我甚至不知道湍流是什么，我是研究一個(gè)非常冷門的問題時(shí)，意外進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域的。”

斯科特·阿姆斯特朗。丨圖源：Pierre Kitmacher/Quanta Magazine

他當(dāng)時(shí)正在分析一種金屬材料的簡化模型，采用了一種名為“均質(zhì)化”（homogenization）的數(shù)學(xué)方法。在合適的條件下，均質(zhì)化能證明：一個(gè)在微觀層面看似復(fù)雜、混亂的系統(tǒng)，在宏觀尺度上可能呈現(xiàn)出簡單有序的行為。簡而言之，這是一種試圖證明“小尺度噪聲”在大尺度下會被平均抹平的手段。

均質(zhì)化方法通常只適用于非常受限的情境，小尺度的“噪聲”必須在某個(gè)范圍內(nèi)，不能太極端。正因如此，數(shù)學(xué)家通常只會將均質(zhì)化用于分析物理系統(tǒng)最簡單的模型。

然而，阿姆斯特朗在均質(zhì)化中看到了其他人未曾看到的美與潛力。他相信，只要將這項(xiàng)技術(shù)加以打磨，它完全可以用于更接近現(xiàn)實(shí)、更加混亂的環(huán)境中。“我一直相信，這種方法最終會適用于許多問題。”他說，“如果我能讓它真正奏效，那它將成為一個(gè)重要的思想工具。”

而他需要一個(gè)真正具有挑戰(zhàn)性的試驗(yàn)場。他想要用均質(zhì)化來證明一個(gè)人們普遍認(rèn)為難以應(yīng)對的問題，一個(gè)能引起數(shù)學(xué)物理學(xué)家重視的問題。

這正是湍流登場的時(shí)刻。

理查森的童謠和數(shù)學(xué)的魔法

理查森早在20世紀(jì)初就提出：湍流中的大渦旋會驅(qū)動較小的渦旋，能量從大尺度向小尺度逐級傳遞，直至最微觀的尺度——在那里，分子間的摩擦把動能轉(zhuǎn)化為熱能。他還寫了一首打油詩概括這個(gè)過程：

“大渦生小渦，速度催渦多；

小渦生細(xì)渦，層層歸粘著。”

（Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity.）

這一能量“瀑布式”下行過程，會使得水中兩只橡皮鴨之間的距離增長速度超過常規(guī)擴(kuò)散所預(yù)測的速度，即“超擴(kuò)散”。

但像許多湍流現(xiàn)象一樣，幾代數(shù)學(xué)家始終未能對此加以嚴(yán)格證明。

上世紀(jì)80年代末，一批物理學(xué)家決定簡化問題。他們構(gòu)造了一個(gè)理想化的湍流模型，這種流體仍具備湍流的旋渦特性，但遵循的方程要簡單得多。然后，他們提出了與理查森相同的問題：在這樣的流體中投放橡皮鴨或漂流瓶，它們擴(kuò)散得有多快？

他們猜測粒子會出現(xiàn)超擴(kuò)散現(xiàn)象，盡管速度可能與真實(shí)流體不同。他們用物理學(xué)中的重整化（renormalization）技術(shù)計(jì)算了這個(gè)速度。但重整化方法在數(shù)學(xué)上缺乏嚴(yán)格性——著名物理學(xué)家費(fèi)曼曾稱之為“魔法咒語”（hocus-pocus）。數(shù)學(xué)家僅在少數(shù)特定情形中對其進(jìn)行了嚴(yán)格化處理。

這里用一個(gè)不甚準(zhǔn)確的例子來說明什么是重整化。比如說，描述某個(gè)物理量隨空間坐標(biāo)變化的函數(shù)，就是簡單的反函數(shù)

我們輸入非0的x值，都能得到和實(shí)驗(yàn)一致的數(shù)據(jù)。但是，當(dāng)x為0時(shí)，f(0)變成了無窮大。但是真實(shí)的物理過程并不存在無窮大的物理量。實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)也顯示，f(0)作為一個(gè)物理量存在有限的大小。

這種狀況令一代物理學(xué)家抓狂。理查德·費(fèi)曼則提出了一個(gè)觀點(diǎn)：在數(shù)學(xué)公式可以得到有意義的物理量的時(shí)候，使用這個(gè)公式；當(dāng)公式在某些點(diǎn)上失去物理意義的時(shí)候，就直接把這些點(diǎn)的函數(shù)值“定義”為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出的數(shù)值！（現(xiàn)在該數(shù)學(xué)家抓狂了！）

在某些情況下，數(shù)學(xué)家找到了重整化這一手段的理論依據(jù)。而它也成為了現(xiàn)代物理學(xué)的核心概念。按照現(xiàn)代的理解，重整化其實(shí)描述了系統(tǒng)動力學(xué)在不同尺度上的變化。理解和直觀呈現(xiàn)重正化的一個(gè)好方法或許是伊辛模型（Ising model）。稍微一提，對伊辛模型的研究，已經(jīng)催生好幾位菲爾茲獎(jiǎng)得主。不過，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家雖然可以理解重整化，但是重整化問題中仍存在很多盲點(diǎn)。

因此，即便數(shù)學(xué)家能在該模型中證明粒子擴(kuò)散的某些性質(zhì)，卻始終無法證明“超擴(kuò)散”這一核心命題。

阿姆斯特朗設(shè)想，他可以用均質(zhì)化來為物理學(xué)家的重整化論證奠定更堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

為證明粒子確實(shí)能在湍流中加速擴(kuò)散，阿姆斯特朗必須先弄清楚這種擴(kuò)散大致呈現(xiàn)何種結(jié)構(gòu)。這正是他希望引入均質(zhì)化的地方。他要在大尺度上證明流體行為可用更簡單的方程描述，并從中推導(dǎo)出粒子的擴(kuò)散速率。然而其他數(shù)學(xué)家對此持懷疑態(tài)度，此前有人嘗試用均質(zhì)化處理湍流問題，但都無果而終。因此，當(dāng)他提出這個(gè)目標(biāo)時(shí)，有人直言：“你不可能證明它。”

阿姆斯特朗沒有放棄。他與長期合作伙伴、赫爾辛基大學(xué)數(shù)學(xué)家圖奧莫·庫西（“我好像跟他結(jié)婚了一樣。要怎么形容你最好的朋友呢？”），以及他的博士后艾哈邁德·布-拉比組成團(tuán)隊(duì)，他們決心將均質(zhì)化武裝到足以對抗物理學(xué)家的“魔法”的程度。

他們設(shè)想在流體上疊加一張細(xì)網(wǎng)格，并計(jì)算粒子在每個(gè)小格中平均停留的時(shí)間。有些網(wǎng)格內(nèi)的流體如急流般湍急，粒子快速穿越；而另一些則充滿漩渦，使粒子打轉(zhuǎn)，停留時(shí)間變長。

追蹤湍流里的布朗運(yùn)動。丨圖源：Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drif

問題在于：這些數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的差異過大，正是通常阻礙均質(zhì)化應(yīng)用的“混亂”。

他們的策略是逐步擴(kuò)大網(wǎng)格的尺度，以觀察是否能在略大尺度上使系統(tǒng)行為變得更平穩(wěn)、更可預(yù)測。一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為這太天真，因?yàn)橹虚g尺度上的渦旋相互作用更復(fù)雜，導(dǎo)致混亂加劇而非減少。

但他們并沒有就此停下來。他們畫出更粗的網(wǎng)格，每個(gè)大格子包含多個(gè)原始小格子。原先分散的小渦旋此時(shí)可能聚在一起，改變了粒子在該區(qū)域的平均行為。他們再次計(jì)算粒子停留時(shí)間的變化，追蹤流體行為如何改變粒子運(yùn)動。

他們不斷重復(fù)這一過程，逐步粗化網(wǎng)格，并在每一步證明：相鄰區(qū)域之間的差異在逐漸縮小。最終，他們在一個(gè)相對較大的尺度上，成功使用了傳統(tǒng)均質(zhì)化方法。

這一成就耗費(fèi)了300多頁推導(dǎo)，整整花了兩年時(shí)間。“這過程非常密集。”布-拉比說。“很多個(gè)周六早晨我們6點(diǎn)起床，直奔辦公室，一干就是一天。”

最終，他們成功證明：在這個(gè)簡化湍流模型中，兩粒固體顆粒的擴(kuò)散速度正是物理學(xué)家們幾十年前預(yù)測的超擴(kuò)散速率。

他們成功證明了“超擴(kuò)散猜想”。

令人欽佩的成就

該研究分為兩篇論文，首次在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格描述了湍流流體高效擴(kuò)散粒子的機(jī)制。它呼應(yīng)了理查森一個(gè)世紀(jì)前通過氣球數(shù)據(jù)所觀察到的現(xiàn)象。“這樣的結(jié)果并不常見，”多倫多大學(xué)的數(shù)學(xué)家杰里米·夸斯特爾（Jeremy Quaste）說，“令人欽佩，很多人都很欽佩。”

對阿姆斯特朗來說，這是長久以來他對均質(zhì)化信念的驗(yàn)證。“沒人預(yù)料我們能這么快跳出自己的領(lǐng)域，”他說，“但現(xiàn)在我們正在用這種方法解決其他領(lǐng)域的問題，而這原本看不到任何希望。”

更重要的是，他們建立了一種新的方法論。他們研究的流體是對真實(shí)湍流的粗略模擬，而現(xiàn)實(shí)中的尺度交互更強(qiáng)、超擴(kuò)散更極端。所以，他們的方法或許能應(yīng)用到更現(xiàn)實(shí)的湍流模型中，甚至擴(kuò)展到粒子物理等其他使用重整化的領(lǐng)域。

除了湍流外，也存在簡單有序的層流。流體力學(xué)中層流的特點(diǎn)是，流體粒子以平行層狀運(yùn)動，相互通過，沒有過多混合，低速時(shí)在鏡頭下看起來就像冰一樣。這三位作者也度過了人生里的湍流階段，進(jìn)入了美好的層流時(shí)期——看似靜止，其實(shí)奔流不息又有條不紊。

打開水龍頭，看看生活中的層流丨圖源：Science of the Universe

參考文獻(xiàn)

[1] Scott Armstrong, Ahmed Bou-Rabee, Tuomo Kuusi, Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drift, arXiv:2404.01115

[2] Snyder, Wallace Hutton. A field test of the four-thirds law of horizontal diffusion in the ocean. Diss. Monterey, California. US Naval Postgraduate School, 1967.

[3] Joseph Howlett, New ‘Superdiffusion’ Proof Probes the Mysterious Math of Turbulence Quanta Magazine

[4] RossAnderson, ChristinePorr, ‘DieseccFlasche wurde ?ber Bord geworfen’:amessage in a bottle from the German barque Paula(1886)discovered atWedge Island,Western Australia, WesternAustralianMuseum. https://museum.wa.gov.au/maritime-archaeology-db/sites/default/files/ma_report_325_paula_bottle_message_020318_0.pdf

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