近日《返樸》推送文章《氣球和小黃鴨帶來靈感，數(shù)學家得到當今湍流數(shù)學最具影響力的成果》，簡要介紹了湍流研究中一項重要的猜想——“超擴散猜想”得到證明，而這一猜想的源頭可以追溯到英國科學家路易斯·理查森在1920年代提出的“4/3定律”。事實上，他的成就遠不止于此——他是數(shù)值天氣預報的開創(chuàng)者，也是分形理論的先驅(qū)，還有其他眾多卓越的貢獻。這位有深厚數(shù)理功底的科學家是一位獨行俠，希望用自己綿薄之力解決世間之大問題。

“人生的責任是要為后人留下更美好的事物。”

——路易斯·理查森

撰文 | 陳關榮

01

引 子

大家都聽說過“蝴蝶效應”，說的是微小的初始差異可能會導致巨大的不同結果。這一比喻源于氣象學家洛倫茨（Edward N. Lorenz，1917-2008）的“混沌”（Chaos）理論，他把長期天氣預報的不可能性歸咎于大氣動力系統(tǒng)的混沌本質(zhì)。

不過，這并不排除短期天氣預報的可能性和準確性。事實上，現(xiàn)在我們經(jīng)常都看天氣預報，而且知道這些天氣預報還是相當準確的。統(tǒng)計記錄表明，目前3天之內(nèi)的預報在全球范圍可達到80% 的準確度，各氣象站覆蓋的半徑可達25公里，7天之內(nèi)的預報一般來說還是有效的，10天以上便屬于長期天氣預報了，而兩周以后的預測通常就只能理解為“可能吧”了。當然，現(xiàn)代科學技術的發(fā)展持續(xù)地讓長期天氣預報的準確性以每10年增加1天的速度不斷提高。

那么，今天的氣象臺是怎樣作出短期天氣預報的呢？

大家都知道許多民間諺語，如“天上瓦片云，地上曬死人”、“空中魚鱗天，不雨也風顛”之類。據(jù)說這類民謠可以追溯到公元前三百多年。現(xiàn)代文獻中記載的第一張小范圍天氣圖出現(xiàn)在1820年。當年德國氣象學家布蘭德斯（Heinrich W. Brandes）根據(jù)過去的氣象觀測資料，將各地同一時刻的氣壓和風況等數(shù)據(jù)填寫在地圖上，從而繪制成了世界上第一張供事后作記錄和研究用的天氣圖。

1844年，美國的一位名畫家莫爾斯（Samuel F. B. Morse）出于好奇心而發(fā)明了有線電報，為大范圍氣象觀測數(shù)據(jù)的迅速傳送和匯集提供了條件。1851年，英國氣象學家格萊舍（James W. L. Glaisher）基于電報技術和氣象資料，在英國皇家博覽會上展示了他繪畫的全球第一張大范圍接近實時的地面天氣圖。

氣象觀測數(shù)據(jù)資料包括氣壓、氣溫、降水量、蒸發(fā)量、相對濕度、風向風速、日照時數(shù)、地表溫度等等，是名副其實的大數(shù)據(jù)。氣象學家們是如何利用它們來做天氣預報的呢？粗略地說，他們有三種比較成熟的方法：天氣學預報方法、統(tǒng)計學預報方法、動力學預報方法。目前這些方法都基于大數(shù)據(jù)并使用計算機，統(tǒng)稱為數(shù)值天氣預報。

基于數(shù)學理論和方法作天氣預報的思想可以追溯到挪威氣象學家皮葉克尼斯（Vilhelm F. K. Bjerknes，1862-1951），他首先建議把天氣預報問題描述成大氣運動的數(shù)學動力方程組的初值問題，根據(jù)目前某時刻實測的氣象資料，通過求解方程組來計算出將來某時刻大氣的運動狀態(tài)。但是人們發(fā)現(xiàn)，這些方程組都無法求出解析解，因而不能應用。后來，用數(shù)值方法對這些方程求解然后進行天氣預報，即現(xiàn)代的數(shù)值天氣預報技術，歸功于英國氣象學家路易斯·理查森（Lewis Fry Richardson，1881年10月11日– 1953年9月30日）。

路易斯·佛萊·理查森（1931）

理查森出生于英格蘭 Newcastle 的一個新貴格會（Quakers）家庭，畢生是個虔誠教徒。他22歲從劍橋大學 King’s College 畢業(yè)，開始在英國國家物理實驗室當氣象員，后來在蘇格蘭氣象局屬下的 Eskdalemuir 天文臺任職臺長。約40歲時起，他在 Westminster Training College 工作了九年，從物理講師晉升到系主任，期間他47歲時從倫敦大學取得數(shù)學心理學博士學位。接下來，他在 University of the West of Scotland 的 Paisley 分校當了十一年校長直至退休。

02

數(shù)值天氣預報

理查森在天文臺工作期間積累了豐富的氣象學知識和預報經(jīng)驗并收集了大量的觀測數(shù)據(jù)。由于他具備堅實的數(shù)學和物理背景，同時受到德國氣象學家布蘭德斯及英國氣象學家格萊舍等前人研究成果的啟發(fā)，理查森對用微分方程去描述天氣變化的做法十分感興趣，并萌發(fā)了通過數(shù)值方法去求解微分方程來作天氣預報的思想。

1916-1919年間，理查森在法國參加了由貴格會組織的友誼救護車隊（Friends' Ambulance Unit），承擔應急救援的義務工作。他利用工余時間進行數(shù)值天氣預報的嘗試研究。他改進了挪威氣象學家皮葉克尼斯的大氣動力學方程組，并通過對空間作網(wǎng)格剖分然后應用有限差分方法去求微分方程的近似解，發(fā)展了后來被稱為理查森迭代（Richardson Iteration）和理查森外推（Richardson extrapolation）等計算方法，并建立了世界上第一個數(shù)值天氣預報計算框架。作為驗證，他通過手算用后來記錄的天氣數(shù)據(jù)試圖推演出1910年5月20日那一天的天氣狀況。他使用了當天早上7點采集的數(shù)據(jù)用來計算6個小時后的天氣。結果如何呢？University College Dublin 的榮休教授、氣象學家林奇（Peter Lynch）在他2006年出版的《數(shù)值天氣預報的誕生》一書中說，當年理查森得到的是一個戲劇性的錯誤預測，他算出6小時內(nèi)有高達145百帕的氣壓上升，而實際記錄表明當時的氣壓基本上沒有變化。不過，林奇指出理查森失敗的原因只是沒有對數(shù)據(jù)做平滑化處理以排除非物理因素對氣壓值帶來的影響。林奇后來驗算的結果表明，假若當年理查森對數(shù)據(jù)做平滑化處理以去掉各種噪聲的話，他的預報基本上還是準確的。林奇評論說，如果你考慮到他當時正在救護車隊做義工，在救護傷病員工作的間隙中用紙和筆做手算，你就會驚嘆他的成績是多么非凡。按理查森自己的回憶，他當時的工作環(huán)境的確簡陋：“我的辦公室只是一個放有干草的寒冷泥房。”

理查森的數(shù)值天氣預報地圖手稿

無論如何，當年理查森并沒有氣餒，他在堅持并不斷努力。1922 年，也就是他當物理系主任期間，理查森出版了一本專著《通過數(shù)值過程預測天氣》，其中生動地描述了他關于一個“天氣預報工場”的奇思妙想：

設想有一個類似劇院的球形大廳，中央有舞臺和樂池，周邊有許多座位。64000個計算員在各自的座位上，對著球形墻壁掛起的世界地圖，分別去計算自己座位所處地圖對應位置的天氣狀態(tài)。其中每個計算員只負責一個方程或者方程的一部分，但有一名管理員負責協(xié)調(diào)一個較大區(qū)域的計算過程和結果。球形墻壁上有許多袖珍屏幕，各自顯示即時的計算結果，供附近的計算員讀取使用。在大廳中心豎立有一根柱子，頂起一個平臺，讓總指揮和他的幾名助理坐在那里工作。總指揮的職責是保證全球各地區(qū)的計算員保持同步計算。助理們則以最快的速度匯集計算結果作為未來天氣預測的數(shù)據(jù)，并將它們發(fā)送到大廳旁邊的隔音室。在那里，天氣預報結果被編碼然后發(fā)送到各個無線電收發(fā)站，再分別向全世界各地進行廣播。

要知道那個時候世界上還沒有計算機，甚至沒有大規(guī)模快速計算的概念，更沒有大范圍聯(lián)手合作進行全局天氣預測的先例。理查森當時的思想，是超時代的。

理查森的“天氣預報工場”設想（1922）

在《通過數(shù)值過程預測天氣》 這本書中，理查森主要研究了大氣層里的氣流過程，包括大氣湍流方面的一些理論分析和實驗結果。書中還建立了一種“現(xiàn)象學”模型，描述多種混合流體（如氣體和液體）在多孔介質(zhì)系統(tǒng)中的流動過程，并討論了如何把該模型用于天氣預報。后來，科學家們繼續(xù)在理查森模型的基礎上進行擴展，并將其基本原理以及各種改進模型應用于石油工程、環(huán)境工程、水文學和土壤學等多個領域。

毋庸置疑，直到電子計算機出現(xiàn)之前，理查森的數(shù)值天氣預報設想是不現(xiàn)實的。當年，他自己也曾估計，用手算去預測未來6個小時后的天氣，其數(shù)值方法至少需要6個星期的運算才可望完成。

多年以后，到了1946年，世界上第一臺可編程通用電子計算機 ENIAC 在美國賓夕法尼亞大學（UPenn）誕生。1950年，普林斯頓高等研究院的數(shù)學家馮·諾依曼（John von Neumann）和氣象學家查尼（Jule Charney）及菲爾托夫（Agnar Fj?rtoff）用 ENIAC 來完成了數(shù)值天氣預報的可行性實驗。他們在Tellus雜志上發(fā)表了題為“正壓渦度方程的數(shù)值積分”一文，報告了他們用這臺計算機花費了約24小時便完成了提前24小時的天氣預報計算。當理查森從查尼那里收到這篇論文的影印本時，十分興奮地回了祝賀信，稱贊他們用計算機作天氣預報的成功是一個“巨大的科學進步”。1952年，馮·諾依曼和查尼等人說服了美國空軍和海軍兩個氣象研究部門，聯(lián)手在馬里蘭州建立了一個數(shù)值天氣預報機構。

1954年，英國BBC電臺向全世界廣播了歷史上的第一次數(shù)值天氣預報。1955年，馮·諾依曼和查尼領導下的數(shù)值天氣預報機構推動了美國多個電臺在廣播中使用數(shù)值天氣預報。從此，理查森的數(shù)值天氣預報技術在全球正式啟航。后來，加上超級計算機和衛(wèi)星數(shù)據(jù)的配合，使預報準確度和實時性不斷獲得改進，該技術一直被沿用至今。

但是，理查森在1953年便去世了，他生前沒有來得及看到這一天。當年，他曾說：“也許在不遠的將來，由于信息的獲取，在人類可以承受的代價下，計算的速度能夠超過天氣變化的速度。但目前這只是個夢想。”今天，我們希望理查森能夠知道，他的夢想成真了。

理查森名著《通過數(shù)值過程預測天氣》（1922）

03

和平主義活動與戰(zhàn)爭數(shù)學模型

除了數(shù)值天氣預報，理查森在流體力學和物理科學中也有不少重要貢獻，其中有著名的

程以及一個重要的無量綱常數(shù) Richardson Number。此外，還有一項成果值得提及。1912年4月15日泰坦尼克號巨型游輪沉沒后不久，他就注冊了使用空氣中傳遞的聲波進行回聲定位以探測海浮冰山的專利。?個月后，他又注冊了在水中進行回聲定位的另一個專利。后來把這一思想變成實用的是1915年法國物理學家朗之萬（Paul Langevin）和俄國電氣工程師奇洛夫斯基（Constantin Chilowski）合作發(fā)明的聲納，在當時第一次世界大戰(zhàn)中用來探測軍事潛艇。

1926年，45歲的理查森因為“把數(shù)學應用于氣象學和物理學的杰出貢獻”被遴選為英國皇家學會院士。

可是，這一年政府出于戰(zhàn)備考慮把氣象臺全部劃歸空軍管轄。理查森還發(fā)現(xiàn)他關于流體力學和天氣預測的一些研究成果被利用于戰(zhàn)備和軍事目的，感到十分失望。由于宗教信仰的背景和生活環(huán)境的影響，理查森畢生是個和平主義者。于是他決定退出流體物理和天氣預報的研究，甚至自行銷毀了一些有可能被戰(zhàn)爭利用的研究成果和數(shù)據(jù)。自此之后，他把余生的工作、科研和社會活動轉(zhuǎn)到了教育。

有人說，數(shù)學家能夠把數(shù)學用到所有你能想得出來甚至想不出來的地方去。理查森是個應用物理和計算數(shù)學家，還是個數(shù)學心理學博士，他就是這樣的一個例子。他在后半生把數(shù)學知識和技能應用于心理學的研究，特別是用于踐行自己心中的和平主義原則，用來理解和描述戰(zhàn)爭與沖突，并試圖找出避免和結束戰(zhàn)爭的各種條件和可能方法。在心理學方面，他研究了人類智能及心理活動，包括痛苦、理解、憎恨等情感方面，并發(fā)展了一套量化方法。他的文章主要發(fā)表在1904年創(chuàng)刊的心理學旗艦雜志British Journal of Psychology。在戰(zhàn)爭與和平研究領域里，他和萊特（Quincy Wright）、索羅金（Pitirim Sorokin）、伯丁（Kenneth Boulding）、拉帕波特（Anatol Rapoport）、科爾（Adam Curle）等人?起被認為是國際軍事沖突和軍備競賽的科學分析理論的開創(chuàng)者。這是一個用定性定量和數(shù)理社會學方法來系統(tǒng)地研究戰(zhàn)爭的起因與和平的條件的理論研究方向。

從1926年起，理查森開始了這個戰(zhàn)爭和沖突分析課題的研究。和他對天氣問題的研究?樣，理查森主要使用微分方程和概率論等傳統(tǒng)的數(shù)學工具。他提出了?個理想化的微分方程組，就是后來著名的“理查森軍備競賽模型”（Richardson arms-race model），用來描述兩個國家的戰(zhàn)爭沖突和軍備競賽。在模型中，他假定一個國家的武器生產(chǎn)速率與其對手擁有的武器數(shù)量成正比，與其對于對手的敵意成正比，而與自己目前擁有的武器數(shù)量成反比。該微分方程組有助于人們對兩國之間多種可能的存在狀態(tài)的本質(zhì)以及這些狀態(tài)的穩(wěn)定性獲得準確的認識。

1935年，理查森在Nature上發(fā)表文章，用他的軍備競賽模型說明其數(shù)學結果與第一次世界大戰(zhàn)的歷史數(shù)據(jù)一致，并指出模型預測第二次世界大戰(zhàn)前夕局勢的不穩(wěn)定性和后來的實際結果一致，還建議了如何通過調(diào)整對外政策讓對抗系統(tǒng)穩(wěn)定下來。

1940年，59歲的理查森校長任期結束，他同時接到了一個新的教授職位邀請。幾經(jīng)思考之后，他做出了一個艱難的謝絕決定，并從工作崗位退休，以便全力以赴去推進他關于戰(zhàn)爭與和平的科學研究。從此之后，他的余生都是一個獨立的業(yè)余科研人員。

1941年，理查森在Nature上發(fā)表了一篇關于人類群體遷移數(shù)學模型的短文。但他在這個研究方向似乎沒有太多的后續(xù)工作。

1949年，理查森出版了一本專著《軍備與動蕩》并留下一本手稿《致命沖突的統(tǒng)計》（1960年由他的兒子 Stephen 整理出版）。在這兩本著作中，他嘗試用數(shù)理統(tǒng)計學的方法去分析戰(zhàn)爭發(fā)生的原因。1940年代中期，馮·諾依曼的數(shù)學博弈論初露頭角，理查森應該還沒注意到。那時他的研究基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)，考慮的因素主要包括經(jīng)濟、宗教和語言的差異。在《致命沖突的統(tǒng)計》的前言中，他寫道：“現(xiàn)今在世界上有大量精彩和充滿睿智的政治討論，但都未能得出明確的結論。我有個不同的目標，就是用定量的方法去檢驗幾種表述，以期得到可靠的答案。”因為采用統(tǒng)計學方法，理查森整理了從1815年到1945年幾乎所有戰(zhàn)爭的數(shù)據(jù)。通過對這些數(shù)據(jù)的分析，他觀察到了武裝沖突的傷亡服從冪律，即傷亡人數(shù)不多的戰(zhàn)役數(shù)目遠遠大于傷亡人數(shù)眾多的戰(zhàn)役數(shù)目。他指出即使在較小的尺度上，例如1935年的多次滿洲里土匪襲擊和芝加哥幫派沖突，其發(fā)生次數(shù)和傷亡人數(shù)之間的關系也符合這個冪律。他還論證了，盡管我們事前不能預測軍事沖突的規(guī)模，也就是說不能給出傷亡人數(shù)的上限，但是戰(zhàn)役中的傷亡人數(shù)本身符合泊松分佈。

1951年，理查森在Nature上發(fā)表了一篇著名文章“Could an arms-race end without fighting?”，以他的數(shù)學模型為基礎討論了軍備競賽是否一定會導致戰(zhàn)爭和如何可以不通過戰(zhàn)爭而消除對抗這樣一些重要的社會科學問題。

04

分形數(shù)學思想的萌芽

科學家和數(shù)學家們的思想常常超乎常理，讓人意外甚至驚奇。

在上述戰(zhàn)爭理論的研究中，理查森破天荒地認為兩國之間的戰(zhàn)爭傾向是雙方共同國境邊界線長度的函數(shù)。他試圖去尋找兩國開戰(zhàn)的概率與該兩國共同邊界線長度的關系。讓他詫異的是，他發(fā)現(xiàn)不同時間和不同場合公開發(fā)表的同一國境線長度的數(shù)據(jù)存在相當大的差別。例如，他看到西班牙和葡萄牙之間的國境線長度有987公里的，也有1214公里的記錄；荷蘭和比利時之間的國境線長度有380公里的，也有449公里的記錄。是測量誤差嗎？理查森調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：不是。

那么，是什么原因呢？這里，讓我們用英格蘭海岸線長度的量度為例，來解釋理查森的發(fā)現(xiàn)。

如果我們用單位為200公里的尺子去量度，我們會得到海岸線的總長度為2400公里；用單位為100公里的尺子去量度，會得到總長度為2800公里；用單位為50公里的尺子去量度，會得到總長度為3400公里；等等。也就是說，不同單位長度的尺子量出來的結果是不同的，而且尺子越短結果越精確。

英格蘭海岸線長度的不同量度

理查森的這個發(fā)現(xiàn)是常人不難理解并且是容易接受的。但普通人會認為，英格蘭海岸線是一個固定的實體，它的總長度不管你怎么去丈量都必須是一個定數(shù)；尺子做得越來越精細，量出來的總長度就會越來越接近這個定數(shù)。對吧？

但是數(shù)學家理查森說，并非如此。他發(fā)現(xiàn)：使用越來越小單位的尺子，量得的海岸線總長度會變得越來越長！也就是說，隨著尺子的長度趨于零，海岸線的總長度會趨于無窮大。這個不可思議的數(shù)學極限現(xiàn)象今天被稱為“理查森效應”。

當年，科學界并沒有注意到理查森這個其實是十分驚人的發(fā)現(xiàn)。今天，它被認為是數(shù)學分形（Fractals）理論研究的開端。“分形之父”數(shù)學家曼德博（Beno?t B. Mandelbrot，1924-2010）在他1967年的奠基性論文“英國的海岸線有多長？統(tǒng)計自相似和分數(shù)維度”中把分形理論的起始歸功于理查森的上述發(fā)現(xiàn)。說起來，曼德博知道理查森的發(fā)現(xiàn)純屬偶然，是他在清理舊文獻時往一本1961年General Systems Year Book的附錄瞟了一眼時突然見到的。當年理查森已經(jīng)知道了，有?個介于1和2之間的分數(shù)值，它可以用來描述海岸線隨著測量變精細所表現(xiàn)出的復雜度的增加。這個分數(shù)值在今天的數(shù)學文獻中被稱為“分形維數(shù)”。

05

學術遺產(chǎn)和后話

理查森并非師出名門。此外，他是一個典型的“獨行俠”式的科學家，極少合作伙伴，從來沒有助理，絕大部分文章自己一個人完成和發(fā)表。無論如何，他的科學貢獻卓著，廣泛分布在計算數(shù)學、數(shù)值氣象學、流體物理學、社會和平科學和計量心理學等交叉研究領域。

理查森去世后，1959年英國 Lancaster University 建立了理查森研究院（Richardson Institute），開展和平與沖突的社會科學研究。1960年，英國氣象學會設立了年度頒發(fā)的理查森青年最佳論文獎。1972年，英國國家氣象局把總部大樓一翼命名為理查森樓翼（Richardson Wing）。1998年，歐洲地理科學聯(lián)盟（European Geosciences Union）設立了年度頒發(fā)的“路易斯·理查森獎章”（Lewis Fry Richardson Medal），表彰地球物理非線性科學研究有突出貢獻的科學家，其中分形之父曼德博榮獲2000年度的獎章。2001年，歐洲政治研究聯(lián)盟（European Consortium for Political Research）設立了“路易斯·理查森終生成就獎”（Lewis Fry Richardson Lifetime Award）。2015年起，位于理查森讀中學的 York 鎮(zhèn)的 University of York 的數(shù)學系設立了理查森學術講座系列。

理查森（站立者）在學術會議上發(fā)言（1949）

1953年9月30日，理查森在蘇格蘭 Kilmun 村的家里睡眠中平靜去逝，享年72歲。夫人 Dorothy 回憶說，理查森留給她終生難忘的一句話是：

“我們?nèi)松呢熑问且獮楹笕肆粝赂篮玫氖挛铩４撕笪覀冏约喝绾危瑒t不是要去關心的。”

本文經(jīng)授權轉(zhuǎn)載自微信公眾號“集智俱樂部”，原標題為《希望理查森能夠知道，他生前的夢想成真了》。

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