今天，挪威科學和文學學院將2025年阿貝爾獎授予柏原正樹（Masaki Kashiwara），以表彰“他在代數(shù)分析和表示論領(lǐng)域所作出的奠基性貢獻，特別是他在D-模理論的建立以及晶體基的發(fā)現(xiàn)。”

挪威科學與文學學院院長Annelin Eriksen評價道：“在過去50余年里，柏原正樹持續(xù)重塑并深刻拓展了代數(shù)分析與表示論這兩個數(shù)學重要領(lǐng)域。他的研究始終站在當代數(shù)學的前沿，激勵著一代又一代的數(shù)學家。”

柏原正樹通過原創(chuàng)性的思考，將代數(shù)與分析這兩個“數(shù)學大陸”連接在一起，隨后又把第三塊大陸——幾何學也納入其中。他的思想不僅深邃優(yōu)美，而且開辟出全新路徑，啟發(fā)許多數(shù)學家探索未知領(lǐng)域、解決新問題。（圖/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize）

D-模與方程的存在性

D-模為研究線性偏微分方程組提供了一種代數(shù)語言。微分方程描述的是事物如何隨時間或空間變化。比如我們會用它們來解答“某輛車在某一點的速度是多少？”“它是在加速還是減速？”等問題。而像柏原正樹這樣的數(shù)學家研究的是線性偏微分方程組。他們關(guān)心的不在于如何求出具體解，而是關(guān)心這些方程是否有解，以及如果有，其解會具有什么樣的性質(zhì)。

并非每個微分方程在每個點上都存在可定義的解。例如，如果一個函數(shù)是 1/x，那么當 x = 0 時，1/x 就趨向于無窮大，這樣的點被稱為奇點。數(shù)學中的一個著名的未解問題——希爾伯特第21問，也被稱為黎曼–希爾伯特對應問題，它探討的就是在復數(shù)域中具有奇點的特殊微分方程系統(tǒng)的解。（復數(shù)域是一個實數(shù)與虛數(shù)共存的數(shù)學空間。）

在復流形上，微分方程的解在奇點附近可能表現(xiàn)出“繞一圈，解就變”的奇特行為。這種現(xiàn)象稱為單值性，而具有此性質(zhì)的微分方程系統(tǒng)則被稱為單值系統(tǒng)。

希爾伯特第21問研究的是我們能否斷言某類特定的微分方程系統(tǒng)總具有單值性？以及，我們是否能夠準確預測這些具有奇異行為的奇點將在何處出現(xiàn)？

柏原正樹借助他的D-模理論，證明了在任意維度下，總存在一個唯一的微分方程，滿足所預測的性質(zhì)。

在建立黎曼–希爾伯特對應的過程中，柏原正樹還成功建立了D-模與拓撲學中的“層”之間的聯(lián)系。在與皮埃爾·夏皮拉（Pierre Schapira）長達50余年的合作中，他們在層的方面取得了深遠成果，也為表示論這一重要數(shù)學領(lǐng)域架起了一座新的橋梁。

表示論的世界

表示論是一門用代數(shù)手段研究對稱性的學科。

在日常生活中，我們熟悉各種各樣的對稱。例如，一個平面上的正方形瓷磚可具有多種對稱性——可以旋轉(zhuǎn)四分之一圈、半圈或一整圈；也可以沿對角線或邊的中點進行鏡像反射；還可以在鋪砌的瓷磚地面上平移，形成平移對稱。

而立方體這樣的三維物體則具有更多的對稱性，因為它可以在三維空間中向任意方向旋轉(zhuǎn)、反射或滑動。在更高維的空間中，數(shù)學對象的對稱性可以更加復雜，具有更多“階”。

一個物體的各種對稱性之間的關(guān)系，可以通過代數(shù)的一個分支——群論來描述。挪威數(shù)學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel）在群論方面做出了重要貢獻，阿貝爾群就是由他提出的，阿貝爾獎也是以他而命名的。

雖然正方形、立方體等日常物體的對稱性是有限的，但像圓或球這樣的物體則具有無限多種對稱性。例如，你可以圍繞一個球體的任意軸旋轉(zhuǎn)，或者讓它在穿過中心的任意平面上反射。為了描述這種連續(xù)的對稱群，挪威數(shù)學家索菲斯·李（Sophus Lie）創(chuàng)立了李群的理論，而這一理論也成為了現(xiàn)代物理學和數(shù)學的重要支柱。

量子群與晶體基

為了在統(tǒng)計力學等領(lǐng)域使用李群，物理學家們發(fā)展出了量子群的概念。而柏原正樹則另辟蹊徑，提出了全新的應用思路——他發(fā)明了晶體基，將量子群的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為更加清晰可見的圖形，這又在表示論與圖論之間建起了新的橋梁。

圖論使用“邊”連接的“結(jié)點”來建模結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)。瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1736年開創(chuàng)了圖論，并用它解決了著名的“柯尼斯堡七橋問題”。

柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）被河流分隔，有兩座島通過七座橋連接對岸。問題是：是否存在一條路徑，可以恰好走過每座橋一次并回到起點？歐拉將問題抽象為圖形，將橋和地點表示為邊與點，最終證明：這樣的路徑是不存在的。

這種將現(xiàn)實問題抽象為圖的方法，如今被廣泛應用于計算機科學、化學，甚至地圖著色等領(lǐng)域。

柏原正樹的晶體基將量子群所描述的組合對稱性轉(zhuǎn)化為圖。所有具有相同對稱性組合的對象，對應于相同的圖。如果一個對象具有兩種不同的對稱性（例如一個結(jié)合了旋轉(zhuǎn)和平移的螺旋開瓶器），那么它的圖就會分裂為兩個不連通的部分。

今天，晶體基已經(jīng)成為整個表示論中不可或缺的核心工具。

數(shù)學世界的橋梁建造者

從D-模理論到黎曼–希爾伯特對應，從晶體基到圖論結(jié)構(gòu)，柏原正樹始終站在多個數(shù)學分支的交匯處，不斷搭建橋梁、統(tǒng)一語言、激發(fā)靈感。

2025年阿貝爾獎的頒發(fā)，不僅是對柏原正樹個人貢獻的高度肯定，也象征著數(shù)學內(nèi)部不同領(lǐng)域之間聯(lián)系的不斷加深與融合。

#創(chuàng)作團隊：

整理：原原

#參考來源：

https://abelprize.no/

#圖片來源：

封面圖：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

首圖：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize