數學是人類心靈活動的產物，

做數學研究，

就是為了探索人類思維的極限。

蘇陽· 中國科學院數學與系統科學研究院研究員

大家好，我是來自中國科學院數學與系統科學研究院的蘇陽。今天我給大家帶來的演講有關一個數學的分支——拓撲學。

說到數學，可能大家的第一感覺是，這是一門有點難的學科，里面有很多非常難算的題，特別是平面幾何里邊的題。如果有道題是求圖形的面積，那可能大家做著做著就會變成求做題人的心理陰影面積了。

但我還好。我在中學階段數學學得還可以，而且我覺得數學是一門很有意思的學科，里面有很多很神奇的東西吸引著我。所以到了大學之后，我進入數學系繼續深造。

在大學前兩年，我學了一些很基本的課程，包括數學分析、線性代數、微分幾何、概率論等等。我學得也都還可以，但是始終沒有一門功課讓我感到大有啟發，使我眼前一亮，直到我大學第3年時上到了拓撲學的課程。

左邊是我們當時給我們上課的老師，北京大學數學系的尤承業教授。他是一位非常和藹且博學的老師，在課上對我們諄諄教導，引領我們進入拓撲學的大門。他的課非常好，讓我感到很有啟發。

我覺得拓撲學和其他的數學的分支有點差別：在于拓撲學往往不需要你做特別復雜的計算。最起碼對于我當時的認知程度來說，它不需要做特別復雜的計算，而更需要一些非常巧妙的觀察。然后把這些數學概念組織在一起進行推理，就可以得到一些非常深刻且非常有意思的結果。

從7座橋開始的拓撲學

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我們先來舉一個例子，一個歷史上非常經典的例子，大家可能聽說過，就是哥尼斯堡七橋問題。

這個問題是這樣的。這是大概17或18世紀時的哥尼斯堡，一個在波羅的海海邊的小城。這個小城中有幾條河流穿過，人們為了交通方便，就在河上修了7座橋。我們用綠色把這7座橋標記出來了。

當時這7座橋中有2座一直保留到了現在，這是其中1座的照片。

大家在日常生活中都會散步，那在哥尼斯堡散步的人里就有人提出來，說我們試試，能不能一次不重復地把這7座橋都走一遍。然后很多人都去嘗試了，但是一直沒有人成功。所以這個問題漸漸地就變成了一個難題，慢慢流傳開了。

那到底怎樣才能把這七座橋都走遍呢？這個難題最后引起了大數學家歐拉的關注。

歐拉用了一個非常數學的方式處理了這個問題。他把這個問題抽象了出來，所以我們就看到了這樣一個簡圖。綠色的就是陸地，黃色的就是橋。

那我們可以再進一步做抽象，把陸地用點來表示，那2塊陸地之間如果有1座橋連接的話，我就在兩個點之間連一條線，用來表示橋。這樣就把原來的地圖問題完全抽象成了一個由點和線構成的圖形問題了。現在這個問題就變成了，我能不能從1個點出發，然后一次不重復地把圖上7條邊都走下來呢？

接下來，我們就可以做一些非常簡單的觀察。這里有一個非常關鍵的點在于，在不能重復經過1條邊的情況下，如果1個點它不是起點也不是終點，那你就要經過1條邊走到這個點來，然后再沿著另外1條邊走出去。這樣一進一出，就走了2條邊了。所以，如果1個點它既不是起點也不是終點，那么它發出的邊一定是偶數條。只有起點和終點才可能是奇數條。

這樣我們再看這張圖，圖里所有的4個點發出的邊都是奇數條，它們不可能同時作為起點或終點。所以根據剛才的分析你就知道，不可能一次不重復地把這7條邊都走一遍。

這就是一個把實際生活問題抽象成幾何問題再去分析解決的例子。但這個幾何問題和我們中學學習的幾何問題不一樣。

不一樣在哪呢？在這個圖里，每條邊有多長、每兩個邊間的夾角是多大，其實并不重要。真正重要的是每個點間到底連了幾條邊，它們是怎么連的。也就是說，我們關注的是這個圖形間各個部分相對的位置關系。

可以說，這種研究幾何圖形之間各部分相對位置關系的幾何學，在歐拉那個時代開始就慢慢發展起來了。

又過了100多年之后，這種研究已經非常廣泛了，大家覺得有必要給這門學科起個名字。于是到了1847年，德國數學家利斯廷就用兩個希臘語詞根拼湊出來了單詞，叫作“topology”。

這兩個希臘語詞根“τ?πο?”表示的是位置，“λóγο?”表示的是關于什么的談話。“topology”說的就是關于位置的談話，也就是研究幾何體間各個位置相對關系的一門數學。

就像前面說的，我們關注的是幾何體或者空間的各個位置的相對關系。我允許這個東西做形變，只要這種形變既不撕開也不黏合，那么它的各個位置的相對關系就是不變的。我們管這種形變叫同胚。

這是一個馬克杯，它可以同胚或者說形變成輪胎，我們叫環面。

這是一個玩具小牛，你可以想象把它吹得脹起來，得到的就是球。所以我們可以說，這個小牛玩具和球面是同胚的。

球面和環面是不同胚的，這個大家在直覺上就可以感覺出來。但是它們到底怎么樣不同胚？它們性質又會有什么樣的差異呢？這個就是我們拓撲學關心的問題。

那下邊，我們就舉幾個例子，來看一下球面和環面到底有什么差別。

為什么人人有發旋？

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第一個例子有一個非常形象的名字，叫毛球定理。 這個定理的數學表述是這樣的：球面上的任何連續向量場必然存在一個零點。

這個概念非常好理解。什么叫向量？就是有一個點，然后畫個箭頭，這就叫一個向量。那我現在把這個向量畫在球面上，意思就是說，我這個向量要貼著球面畫，或者說跟球面相切著畫就可以了。

▲圖片來源：https://www.scientificamerican.com/article/ maths-hairy-ball- theorem-has-surprising-implications/

我在每個點都畫一個向量，就可以得到一個叫向量場的東西。我們希望這個向量場的改變不要太劇烈，每個點跟它附近的點的向量箭頭的方向和大小都不能突變，這樣的向量場就叫連續向量場。我們日常生活中很多東西的改變都是連續的，這個也很好理解。

有了這樣一個要求之后，你就可以嘗試在球面上去畫這么一個向量場，在每個點畫個箭頭，最后你會發現，你畫來畫去總是到了某個點就沒法畫了。你要想使這個點和周圍的向量保持向量場的連續改變，就只能畫0，只能讓這個向量值是0。

▲圖片來源：https://www.scientificamerican.com/article/ maths-hairy-ball-theore m-has-surprising-implications/

這個現象并不是因為我們太笨了畫不出來，而是因為背后有球面拓撲的阻礙，它阻礙了你畫出這么一個處處非零的連續向量場。所以這個定理就是說，球面上的任何連續向量場必然存在一個零點。

那為什么叫毛球定理呢？有一個非常形象的解釋。你可以想象一個球上每個點有一根頭發，要把這些頭發梳理到球面上，就得到了一個類似于向量的東西。

我希望把頭發連續地梳在這個球的表面上，但最后會發現，不管怎么梳，總是在某些點上沒有辦法把頭發梳下去，使得它和它附近的頭發連續改變。

這件事情在日常生活中一點也不稀奇，就像我們每個人頭發都會有旋，可能有的人有一個旋，有人有兩個旋，但無論如何，這個旋上的頭發怎么梳的話都會和附近的頭發有沖突。

這就是毛球定理，在我們日常生活中大家都有所體驗。而它背后的原理，就是因為這樣一個向量場必然存在零點。

我們前面說，我們想知道球面和環面到底有什么差別。那么，環面上有沒有“毛環定理”？是不是在這個環面上放一個向量場，它也總是有零點呢？

▲圖片來源：http://www.rdrop.com/

其實，只要去動手實驗一下就會發現。圖上畫了兩種方式，結果都是在環面上能夠存在一個處處非零的向量場。綠色箭頭是沿著環的緯線方向畫的，我在每一個緯線方向上都可以放一個箭頭，這個箭頭沿著圓的方向畫下去就可以了，它總是處處非零的。

另外，我也可以沿著圓的經線方向去畫箭頭。紫色箭頭就是沿著圓的經線去畫，這樣也可以處處非零地畫下去。

所以我們看到，從向量場角度來說，球面和環面是很不一樣的，球面上的向量場總是要有零點的，而環面上的向量場不一定有零點，所以它們在拓撲上是不一樣的。

反直覺，但卻是必然存在的

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接下來我再舉兩個生活中的現象，大家先想想， 你直覺上認為它對還是不對，然后我再給一個數學上的解釋。

第一個現象是這樣的。地球表面每個點的大氣都會有一個氣溫和一個氣壓。在任何一個時刻，地球表面都會存在對徑的兩個點，這兩個點的氣溫也相同，氣壓也相同。

對徑的兩個點就是說，每個點穿過地球球心在對面那個點。比如說南極的對徑點就是北極，北京的對徑點在地球那邊應該是阿根廷的某個地方。

大家可以根據直覺，感受一下這句話對不對。這聽起來有點神奇，我怎么能夠保證剛好對徑兩個點，它們的氣溫和氣壓都相同呢？

▲圖片來源：Arturo Tozzi @ResearchGate

這背后其實也有一個數學定理，叫博蘇克-烏拉姆定理（Brosuk-Ulam定理）。這個定理是說， 從球面到平面的連續映射，一定會把一對對徑點映到同一個點。

我解釋一下什么叫作把球面給映到平面，其實也很好理解，就是把這個球面給壓平、攤平。連續映射就要求說壓的時候不要把球面撕開，它就是連續的。所以，這個定理就是說，不管我把這球面用什么方式壓到平面，總會存在一對對徑點，它們的像是同一個點。

所以再回到我們剛才說的關于氣溫和氣壓的問題，我們可以把地球表面看成球面。在理想情況下，大氣的氣溫和氣壓總是連續變化的，也就是說每個點跟它附近點的氣溫、氣壓不會差太多。

這樣的話，我把氣溫和氣壓這兩個數看成兩個實數，它們就在平面上標定了一個點。那么，這一對氣溫和氣壓其實就是從球面到平面的一個連續映射。根據博蘇克-烏拉姆定理，我就知道，一定存在一對對徑點，它們的氣溫相同、氣壓也相同。

這聽起來非常神奇，但實際上它是有根據的，它是球面拓撲的一個反映。

第二個日常生活中的例子是這樣的，左圖是校園，右邊是一張校園地圖。如果我把這個校園地圖放在校園內隨便某一處地面上，那地圖上一定存在一個點，和它所在地面上真實的那個點，恰好是同一個點。

大家可以想一下，你會不會相信這件事情呢？

我要告訴大家，這件事情它一定會發生。這是因為我們有這個定理做保證——布勞威爾不動點定理。

▲圖片來源：www.math.hmc.edu/funmath

它說的是，從圓盤到自身的連續映射，必定會存在一個不動點。什么叫不動點？比如圖上這個點a，它和它的像點f(a)是同一個點，也就是說f(a)等于a。

我們從這個定理回到地圖的問題。我把校園地圖放到校園的地上，其實就是做了一個從校園本身到自身的一個連續映射。比如黃色的就是真實的校園，右邊這個像就是地圖。我映射過來以后就是一個連續映射。

那根據布勞威爾不動點定理，這個連續映射一定有不動點。也就是說，在地圖上所標示的點和它在地面上所對應那個點恰好是同一個點。

如果沒有這個定理的話，你就會覺得這件事好像很神奇，因為確實不太好想象。但有了這個定理之后，我們就會理解，它是必然會發生的。

大家都學過的拓撲學

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我們前面講的球面也好、環面也好、圓盤也好，這些定理其實都是拓撲上的一些定性的分析。但數學終究是一門定量的學科，所以我們希望能夠引入一些不變量來刻畫這些不同的球面、環面。

這些拓撲上的空間或幾何體中最經典的一個數，就叫作歐拉示性數。我們來簡單地給大家介紹一下歐拉示性數是怎么來定義的。

右下角這張圖上有個曲面，我把這個曲面看成由很多多邊形拼成的，比如把這個曲面給切成很多三角形。我們數一數到底拼了多少個頂點、多少條邊、多少個面，再做計算。你可能會說，我有不同的方式把這個曲面切割成不同的多邊形，如果用不同的方式去切，你的頂點個數、邊的條數還有面的個數可能都是不一樣的。

但是神奇的地方在于，一旦你把它們組合起來，用頂點數減去邊的數加上面的數，你會發現它總會得出來同樣的一個數，這個數就叫作曲面的歐拉示性數。

我們用一個例子來看下球面的歐拉示性數是多少。這里畫了三個幾何體，分別是正四面體、正方體和正八面體。大家很容易想象它們的表面都是和球面同胚的，也就是你可以把正方體或者正八面體吹脹吹鼓，變成一個球。

接下來，我們可以就可以按剛才說的方式來計算這個球面的歐拉示性數。最左邊這個正四面體有4個頂點、6條邊和4個面，它的歐拉示性數等于2。

接著我們再算第2個。這個正方體有8個頂點、12條邊和6個面，計算結果仍然是2。正八面體的結果也是2。這是非 常簡單的計算，我們從中可以驗證出，球面的歐拉示性數等于2。

這其實就是大家中學里聽到的歐拉公式。歐拉公式在中學里面怎么表述呢？它是說，對于空間中的凸多面體的表面，總是有頂點個數減去邊的個數加上面的個數等于2。其實，這是因為空間中凸多面體其實和球面是同胚的。

所以，其實大家中學時期都學了一點拓撲學的定理。大家也可以嘗試計算下，環面的歐拉示性數是多少。（小編：歡迎各位在留言區回答哦！）

物理世界中的拓撲

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我們前面舉的例子，都是說有關拓撲學它本身所研究的對象。但拓撲不僅僅是一個數學學科，拓撲現象其實在我們這個所處的物理世界中也是有很重要應用的。

▲圖片來源：https://www.aip.org/ science-news/nobel/physics2016

比如2016年的諾貝爾物理學獎，獲獎的工作其實就是關于拓撲物質態的工作。

▲圖片來源：https://www.nobelprize.org/

這是諾貝爾物理學獎官網上的一張介紹他們的工作的圖，他們研究的是物質導電性的改變。我們知道，通常情況下導電性是連續變化的，但在這種拓撲物態里面，這個電子的導電性是離散變化的。為什么會發生這種現象呢？它的背后原因在于，每一個電子導電性的臺階對應的是一個拓撲的空間。最低的空間對應的是一個球面，第二級空間對應的一個環面，第三層空間對應的是一個雙環面，像一個眼鏡的表面。

所以我們會看到，在物質物態里邊，拓撲現象也會出現，拓撲也是一種本質存在的東西。

我們前面講了球面、講了曲面，這些都是二維對象。我們拓撲學家或者幾何學家也會關心一些高維的拓撲對象，這里邊最有名的大家可能聽說過，就是一個叫卡拉比-丘流形的東西。

這是一大類流形，它們的維數可以是任意維的。看起來很好看對吧？也有人把它做成工藝品放在桌上作為裝飾。它為什么這么好看呢？因為它有很高的對稱性。關心這個幾何體的對稱性就是我們的工作之一。

我在前幾年和我的一個合作者就合作研究了某些6維的卡拉比-丘流形的對稱性。6維的卡拉比-丘流形被物理學家認為是超弦理論的核心，是隱藏維度的折疊方式。這是我們當時計算的一個黑板和一些草稿紙。這樣的黑板我們有很多塊，我每次寫完擦掉之前都要拍下來，防止忘了。草稿紙也有很多。

回到開始，我講的就是我之所以被拓撲學吸引，是因為我當時覺得做拓撲不用做太多計算。但我發現，當你走到最后，真正要做一些深入的東西的時候，可能做一些復雜的計算工作是不可或缺的。

但這也沒關系，對吧？只要你知道目標，就不會害怕繁難的計算。

最后，我想用19世紀法國數學家雅可比的一句話來作為結尾。這是雅可比當年給勒讓德寫的一封信里說的話。他說：“科學的唯一目的是為了人類心智的榮耀。”

在現在這個時代，科學和技術已經極大地改變了這個社會。往小了說，數學工作者研究數學的最初動力還是為了滿足我們個人的好奇心和求知欲。往大了說，因為數學是人類心靈活動的產物，我們做數學研究是為了探索人類的心靈世界，是為了探索人類思維的極限。

來源：格致論道講壇

原標題：為什么每個人的頭發都有“旋”？這門數學可能藏著物理世界最深刻的真相｜蘇陽

編輯：余蔭鎧

轉載內容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

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