|作 者：曹則賢

(中國科學院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第4期

摘要馮?諾伊曼是罕有的天才，對數學、邏輯學、量子力學、氣象學、博弈論、高速計算機器、經濟學等領域都做出了杰出的貢獻。馮?諾伊曼在1927—1929年間公理化量子力學的努力，為量子力學打下了堅實的數學基礎。馮?諾伊曼對量子力學的貢獻，包括希爾伯特空間、算子理論、測量理論等，在其本人那里不過是摟草打兔子式的副業，但單憑那些成就就足以確立他在當代數學物理領域的杰出地位。

關鍵詞量子力學，概率詮釋，希爾伯特空間，算子理論，密度算符，熵，量子測量

0神童馮?諾伊曼

約翰?馮?諾伊曼(John von Neumann,1903—1957)是人類歷史上杰出得極為獨特的、學化工出身的數學家、物理學家、氣象學家和計算機科學家。馮?諾伊曼1903年出生于匈牙利布達佩斯一戶有錢人家，匈牙利文名字為Neumann János Lajos。馮?諾伊曼天資聰穎(圖1)，擁有過目不忘(eidetic memory)和過目成誦(quote it back verbatim)的本領，8歲學習微積分，12歲即閱讀法國數學家Emile Borel(1871—1956)的Sur quelques points de la théorie des fonctions(函數論略論)，當然是法文原文的。馮?諾伊曼1914年前在家讀私塾(home-schooled)，然后進入布達佩斯的德語教會中學(Lutheran Gymnasium)直至1921年。馮?諾伊曼很早就表現出了無與倫比的數學天分，16歲就發表了集合論方面的論文。匈牙利的數學家們看出了他的數學天才，并對他大加鼓勵。

圖1　馮?諾伊曼于1910年

馮?諾伊曼喜歡數學而其父希望其投身賺錢事業，根據馮?卡門的建議，作為雙方妥協的結果，中學畢業的馮?諾伊曼進大學學習化工。馮?諾伊曼1921年進入德國的柏林大學學化學，1923年到瑞士聯邦理工(Eidgenossische Technische Hochschule，ETH)接著學化學，因為仍然對數學感興趣，他同時還在布達佩斯大學注冊為數學專業的博士生，導師為Lipót Fejér(1880—1959)，最后在1926年憑借題為“集合論的公理化構造”的論文獲得博士學位，差不多同時從ETH的化工專業畢業。在柏林大學學化工期間，馮?諾伊曼一直沒有停止集合論方面的研究，此外還選修了物理課，包括愛因斯坦老師的統計物理課。在ETH學化工的同時，馮?諾伊曼跟外爾老師學習希爾伯特的一致性理論，也上過數學大神波利亞(George Pólya，1887—1985)的課。{我好象明白為什么有些大學的數學系辦不好了，因為化工系沒招到有數學天分的學生}如此看來，馮?諾伊曼的學習是非常高效的。據信馮?諾伊曼的最常見的動機是不管當時腦子里在干什么都要讓下一分鐘是最高產的。

馮?諾伊曼在柏林和ETH學化工期間的數學成就引起了德國數學界的高度重視{看來數學是一門供天才自學的學科}。1926年，馮?諾伊曼申請一份美國基金會的基金，資助他到哥廷恩去進修數學。在申請表上，馮?諾伊曼在“能說的語言”一欄里填上了母語匈牙利語、德語、英語、法語和意大利語，在“能讀的語言”一欄里添加了拉丁語(圖2)。令人震驚的是，三封推薦信分別來自希爾伯特、庫朗和外爾，這得是當時德國數學界能湊出的最強陣容了。1926年秋，獲得資助的馮?諾伊曼到哥廷恩，跟著希爾伯特研究集合論的基礎。

圖2　馮?諾伊曼申請去哥廷恩進修數學的表格

碰巧的是，哥廷恩是量子力學的誕生地。1926年秋，薛定諤分四部分的“量子化作為本征值問題”{當作數學論文看也許更恰當一些}一文已經發表完畢，量子力學有了矩陣力學和波力學兩種形式，故而量子力學研究變得格外熱乎，對數學的要求也變高了。數學強一些的研究者如約當、狄拉克、泡利、馮?諾伊曼和?？苏镜搅肆孔恿W研究的前臺。量子力學需要表示理論，還要拓展，還要公理化。馮?諾伊曼瞄上了量子力學研究，迅速認識到抽象的、公理化的希爾伯特空間與線性算符的理論提供了一個非常自然的框架(a much more natural framework was provided by the abstract, axiomatic theory of Hilbert spaces and their linear operators)，遂將部分精力投入對量子力學形式框架(formal framework of quantum mechanics)的研究中。

有人夸獎馮?諾伊曼有深刻的洞見，明白希爾伯特空間的幾何同量子力學系統狀態的結構形式上具有同樣的性質(that the geometry of the vectors in a Hilbert space have the same formal properties as the structure of the states of a quantum mechanical system)，這是馮?諾伊曼有能力對量子力學做貢獻的關鍵。

1馮?諾伊曼的量子力學著作

馮?諾伊曼的量子力學研究，筆者總覺得是屬于摟草打兔子型的，反正他才華橫溢也費不了什么事兒。作為一個獨特的天才型實干學者，馮?諾伊曼在物理方面的研究，雖然比不了他在數學方面的成就，但也算得上成果豐碩且著述頗豐。就物理學著述而言，在量子力學方面當然首推他1932年的Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (量子力學的數學基礎)一書(圖3)，這是和兩年前問世的狄拉克的《量子力學原理》并駕齊驅的奠基性經典。馮?諾伊曼1928年申請柏林大學私俸講師位置所需提交的論文 (Habilitationsschrift)，題目為Allgemeine Eigenwerttheorie symmetrischer Funktionaloperatoren (對稱泛函算符的一般本征值理論)也極具參考價 值。此外，兩卷本的 Functional operators (vol.1, Measures and integrals, Princeton University Press (1950); vol.2， The geometry of orthogonal spaces , Princeton University Press (1951)) 也可作為量子力學的基礎讀物。

圖3　馮?諾伊曼的Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Springer，1932)

馮?諾伊曼在量子力學方面的研究論文大致羅 列如下：

(1) D. Hubert, J. von Neumann, L. Nordheim, über die Grundlagen der Quantenmechanik (論量子力學的基礎), Math. Ann. 98, 1—30 (1927).

(2) John von Neumann, Mathematische Begr ündung der Quantenmechanik (量子力學的數學筑基), K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse,Nachrichten 1—57(1927).

(3) John von Neumann, Wahrscheinlichkeitsthe oretischer Aufbau der Quantenmechanik (量子力學的概率論構造), K?nigliche Gesellschaft der Wissen schaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten 245—272(1927).

(4) John von Neumann, Thermodynamik quan tenmechanischer Gesamtheiten (量子系綜的熱力學), K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nach richten 273—291(1927).

(5) John von Neumann, Einige Bemerkungen zur Diracschen Theorie des Drehelektrons (關于轉動電子的狄拉克理論的幾點說明), Zeitschrift für Physik 48, 868—881 (1928).

(6) John von Neumann, Eugene Wigner, Zur Erkl?rung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons (對源自轉動電子量子力學之譜性質的幾點解釋), Zeitschrift für Physik , I. 47, 203—220 (1928); II. 49, 73—94 (1928); III. 51, 845—888 (1928).

(7) John von Neumann, Allgemeine Eigenwertt heorie Hermitescher Funktionaloperatoren (厄米特泛函算符的一般本征值理論)， Mathematische Annalen 102, 49—131(1929).

(8) John von Neumann, Beweis des Ergoden satzes und des H-Theorems in der neuen Mechanik (新力學中遍歷定律和H-定理的證明), Zeitschrift für Physik 57, 30—70(1929).

(9) John von Neumann, Eugene Wigner, über das Verhalten von Eigenwerten bei adiabatischen Prozessen (論非渡越過程中本征值的行為), Physikalische Zeitschrift 30, 467—470 (1929).

(10) John von Neumann, Zur Theorie der unbes chr?nkten Matrizen (無限矩陣理論)， Journal für die reine und angewandte Mathematik 161, 208— 236 (1929).

(11) John von Neumann, Eugene Wigner, über merkwürdige diskrete Eigenwerte (論宜關照的分立本征值), Physikalische Zeitschrift 30, 465—467 (1929).

(12) John von Neumann, Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren (泛函算符代數與正規算符理論), Mathematische Annalen 102, 370—427 (1930).

(13) John von Neumann, Die Eindeutigkeit der Schr?dingerschen Operatoren (薛定諤算符的唯一 性 ), Mathematische Annalen 104, 570 — 578(1931) .

(14) John von Neumann. Proof of the quasi ergodic hypothesis, PNAS 18, 70 — 82 (1932).

(15) John von Neumann, über adjungierte Fun ktional operatoren (論伴隨函數算子) , Annals of Mathematics 33(2), 294 — 310 (1932).

(16) John von Neumann, Physical applications of the ergodic hypothesis, PNAS 18, 263 — 266 (1932).

(17) John von Neumann, Zur Operatorenme thode in der klassischen Mechanik ( 經典力學中的算 子理論 ), Annals of Mathematics 33(3), 587 — 642 (1932); Zus?tze zur Arbeit “ Zur Operatorenme thode in der klassischen Mechanik ” ( 補充 ), 789 — 791 (1932).

(18) B. O. Koopman, J. von Neumann, Dyna mical systems of continuous spectra, PNAS 18, 255 — 263 (1932).

(19) P. Jordan, J. von Neumann, E. Wigner, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism, Annals of Mathematics 35(1), 29 — 64 (1934).

(20) A. H. Taub, O. Veblen, J. von Neumann, The Dirac equation in projective relativity, PNAS 20 ， 383 — 388 (1934).

(21) P. Jordan and J. von Neumann, On inner products in linear, metric spaces, Annals of Mathe matics 36(3), 719 — 723 (1935).

(22) John von Neumann, Representations and ray-representations in quantum mechanics, Bulletin of the American Mathematical Society 41, 305 (1935).

(23) John von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism I, Rec. Math. Moscou, n. Ser ., 1, 415 — 482 (1936).

(24) Garrett Birkhoff, John von Neumann, The logic of quantum mechanics, Annals of Mathematics 37, 823 — 843 (1936).

(25) John von Neumann, Some matrix- inequalities and metrization of matrix-space, Tomskii Univ. Rev. 1, 286 — 300 (1937).

(26) Paul R. Halmos, John von Neumann, Operator methods in classical mechanics, Annals of Mathematics 43, 332 — 350 (1942).

(27) John von Neumann, Eine Spektraltheorie für allgemeine Operatoren eines unit?ren Raumes ( 酉空間中一般算符的譜理論 ), Mathematische Nachrichten 4, 258 — 281 (1951).

(28) Eugene P. Wigner, John von Neumann, Significance of Loewner ’ s theorem in the quantum theory of collisions, Annals of Mathematics 59, 418 — 433 (1954).

(29) A. Devinatz, A. E. Nussbaum, J. von Neumann, On the permutability of self-adjoint operators, Annals of Mathematics 62, 199 — 203 (1955).

（可上下滑動查看）

馮?諾伊曼的量子力學論文，一方面深挖老力學之為新力學提供的基礎，一方面努力構造新力學的公理化結構，這當然得益于他超凡的數學能力。當時有此能力的前輩還有希爾伯特與外爾，但那兩位志不在此，于是這重任就歷史地落在了馮?諾伊曼的肩上?？吹贸?，馮?諾伊曼還是蠻善于同同事合作的，但這種合作卻絲毫不會引起人們對其本人能力的懷疑。馮?諾伊曼在物理方面的主要合作者如維格納等也都用其他的成就證明了各自的能力。論及馮?諾伊曼對量子力學的貢獻，維格納的評價是，僅憑此就可以確立他(馮?諾伊曼)在當代理論物理領域的杰出地位( … would have secured him a distinguished position in present day theoretical physics) 。

2馮?諾伊曼對創立量子力學的貢獻

馮?諾伊曼對量子力學的貢獻一來是偏數學的，公式很多，二來文章又多又長，限于篇幅，本文只能對選取的幾篇文章作簡要介紹，感興趣的讀者請參閱馮?諾伊曼的文集(John von Neumann: Collected Works)。

2.1　量子力學的數學基礎

馮?諾伊曼一接觸量子力學，就迅速對量子力學做出了無可替代的奠基性工作，在1927年和他人合作了“論量子力學的基礎”一文，獨自發表了“量子力學的數學筑基”一文。{這會做科學的人做科學，結果就不一樣。Grundlage是名詞，基礎；Begründung，是動名詞，意思是筑基這活兒，那可是干科學之最高層面的活兒。筆者對這兩者故意作了區分}。

量子力學要求新的概念構造與問題確立。原子的行為同本征值問題聯系起來了，特別地，描述系統的特征量的值就是本征值自身(insbesondere sind die Werte der das System beschreibenden characteristischen Gr??en die Eigenwerte selbst )；本征值譜有分立部分和連續部分，經典與量子的融合在原子世界里實現；量子力學有跡象表明，基本定律可能只能概率地表達；本征值問題可以出現于無窮矩陣，也可以出現于微分方程中，兩者是等價的。兩者各有困難。矩陣形式總要求能量矩陣的對角化，而這只當沒有連續譜的情形才可能，為此可能要用到連續矩陣知識；微分方程方法則不可避免地遭遇非真的自身函數(uneigentliche Eigenfunktionen)。{Eigenfunktion，本征函數，被算符作用后還是自身的函數}在約當的理論那里，不只是要計算變換算符，還要計算變量的取值范圍；兩種量子力學方法有一個共同的缺陷，其在計算中原則上總會代入不可觀測的、物理無意義的因子，即波函數的相因子eφi是不確定的(unbestimmt bleiben)，在χ維退化 {entarted, degenerate簡并}的情形下互相之間只能決定到差一個χ維正交變換。

這篇文章包括如下小節：導言(Eingleitung)，希爾伯特空間(der Hilbertsche Raum)，算符算法(Operatorenkalkül)，本征值問題(das Eigenwertproblem)，算符的絕對值(der Absolutwert eines Operators)，量子力學的統計假設(der statistische Ansatz der Quantenmechanik)，應用(Anwendung)，總結(Zusammenfassung)。從這些小節的名字可以大概了解量子力學所需的數學基礎。在p.25頁上馮?諾伊曼定義了Einzeloperator{筆者不知道怎么翻譯}，即滿足關系EE=E的算符E。顯然1-E也是這樣的算符。一般對稱算符的本征值問題可以借助Einzeloperator表示，對連續譜情形也有效。這一點很重要。

馮?諾伊曼的這篇文章是他在這個方向上的研究的序曲。

2.2　量子力學概率論

在1927年的“量子力學的概率論構造”一文中，馮?諾伊曼提出了密度算符的概念。朗道(Лев Давидович Ландау,1908—1968)也獨立提出過這個概念 [A system cannot be uniquely defined in wave mechanics; we always have a probability ensemble (statistical treatment). 見 The damping problem in wave mechanics, in D. ter Haar (ed.), Collected Papers of L. D. Landau, Gordon and Breach (1965) pp. 8—18] ，而遲至1946年布洛赫又重新提出一回[Felix Bloch, Nuclear induction, Phys. Rev. 70, 460(1946)]。密度矩陣同經典統計力學里的相空間概率測度(位置、動量的概率分布)相對應，是維格納1932年提出的[E. Wigner, On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium, Phys. Rev. 40, 749—759(1932)]，這篇文章與馮?諾伊曼的熱系綜一文有關。

馮?諾伊曼指出，量子力學有兩套理論，波理論和變換理論也即統計理論。統計理論是由玻恩、泡利和倫敦(Fritz London，1900—1954)開啟，由狄拉克和約當完成的。它要回答的問題是，對于給定的物理系統，某個物理量取哪些值？這些值的先驗概率是多少？在別的量的值給定的前提下，這個概率如何改變？

構造量子的概率理論時，我們假設通常的概率計算無條件成立 (Wir machen dabei die Annahme der unbedingt Gültigkeit der gew?hlichen Wahrschein-lichkeitsrechunung)。{筆者借 機強調一遍，量子力學相對于經典物理沒有革命} 根據量子力學，(作用于波函數上的)線性對稱泛函算符(linearer symmetrischer Funktionaloperator)是可賦予物理量的數學對象。一個算符，只當它的本征值問題至少是可解的，它才是對量子力學有用的(Ei n Operator ist aber für die Quantenmechanik nur dann brauchbar, wenn sein “Eigenwertprobem” gel?st, oder zum mindesten l?sbar ist) 。這樣的算符稱為正規的。很可能所有的線性對稱算符都是正規的。

接下來，馮?諾伊曼探討量子測量，為此引入了密度矩陣Sμν，系綜{Gesamtheit, ensemble。請一定記住系綜、集合是同一個詞!}的期望值總可表示為 ，而矩陣uνμ屬于一個線性對稱算符。限于篇幅，此處無法多介紹密度矩陣理論，感興趣的讀者請參閱相關專著[比如J. J. Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley(2011)]。簡單提取馮?諾伊曼這篇論文的結論如下。通常的概率計算同量子力學之間不止是自洽的，而且考慮到量子力學的前提，它還是唯一可能的答案(sogar die eingzig m?gliche L?sung ist)。所謂的量子力學前提就是量子測量假設，有以下三點：

(1) 每一個測量都改變被測對象。兩個測量總互相干擾，除非可以用單一的測量替代；

(2) 測量所造成的改變是這樣的，此一測量總是有效的，即如果此后直接重復測量會得到同樣的結果；

(3) 物理量用泛函算符描述。

這些原則讓量子力學同它的統計相洽(Diese Principien bringen bereits die Quantenmechanik und ihrer Statistik unweigerlich mit sich )。

此后馮?諾伊曼多次發表相關文章，最后集中體現在1932年的專著中。

馮?諾伊曼的“量子力學系綜的熱力學”一文是接著前述兩篇文章的，討論的問題也互有交叉。系綜G唯一、可逆地對應算符U，在這樣的系綜中，E(R)=Spur(UR) {Spur，trace，跡}。為了研究有限溫度的系綜，要引入熵和溫度。量子力學系綜的熱力學考察方式是這樣的：當系綜處于純態φ，它按照時間依賴的薛定諤方程嚴格按照因果律傳播，在所有部分傳播是可逆的。如果測量一個在態φ中非明銳的物理量α {意思是φ不是α的本征態}，它會分裂為無數個別的純態(對應α的本征態)，這一步是不可逆的。兩個系綜的熵差可以這樣確定。當將系綜G1可逆地改變為系綜G2(當然兩者由同樣多的系統組成的)，唯一的補償是溫度為T的熱庫獲得了熱量，則系綜G2的熵比系綜G1的熵多 . 所有純(態)的系綜相互之間的熵差為0，其 他的系綜熵就多出來了(Dabei zeigt sich, da? alle reinen Gesamtheiten gegeneinander den Entropieunterschied 0 aufweisen, und von allen anderen Gesamtheiten an Entropie übertroffen werden)。因 此，可以將純(態)系綜的熵歸一為0，則對一個確定算符U的系綜，熵為S=-Nk Spur(UlnU)(圖4)，其中Spur(U)=1。{用當下的表示，S=-Nk Tr(UlnU)，Tr(U)=1。這就是后來的所謂馮?諾伊曼熵。}這樣的熵定義與溫度無關( In unserem Ausdruck für die Entropie S geht aber die Temperatur T garnicht ein )。在輔助條件Spur(U)=1，Spur(UH)=E 下要求熵最大，必有U=αeβH, U=e-H/kT/Spur(e-H/kT)。

圖4　馮?諾伊曼的“量子力學系綜的熱力學”一文p.277上的截圖

2.3　希爾伯特空間

如果要給量子力學指定幾個關鍵詞，希爾伯特空間肯定位列前茅。1929年，在玻恩造出量子力學一詞的第六個年頭，馮?諾伊曼提出了抽象希爾伯特空間這個概念。

希爾伯特空間是定義了內積的函數矢量空間。希爾伯特空間概念的提出是線的代數(linear algebra)、矢量空間、泛函分析等數學領域的自然發展。馮?諾伊曼1929年造了抽象希爾伯特空間(der abstrakte Hilbertsche Raum)一詞，從此“希爾伯特空間”就成了量子力學施展拳腳的舞臺。在馮?諾伊曼之前，外爾和維納(Norbert Wiener, 1894—1964)都曾從物理角度研究過希爾伯特空間。在量子力學語境中提及的希爾伯特空間，大約就是平方可積函數空間(space of squareintegrable functions)。據說馮?諾伊曼在報告中提到希爾伯特空間時，希爾伯特就坐在下面。希爾伯特說“希爾伯特空間？我怎么不知道?！?/strong>

抽象希爾伯特空間是馮?諾伊曼在從柏林發出的文章“厄米特泛函算符的一般本征值理論”(收稿日期為1928年12月15日)中提出的。我們的函數空間，如果以分立空間1，2，…為基礎，乃所謂的(復)希爾伯特(即無窮維歐幾里得)空間： 所有具有有限 的序列(x1, x2, …)的集合( Unser Funktionenraum ist, wenn wir den diskreten Raum 1, 2, … zugrunde legen, der sogenannte (komplexe) Hilbertsche (d. h. unendlichvieldimensionale Euclidische) Raum: die Menge aller Folgen ( x 1 , x 2 , …) mit endlichem 。

所有的函數流形都是同構的(alle unsere Funktionen Mannigfaltigkeiten isomorph sind)。它們都應作為一般抽象希爾伯特空間的特殊實現來看待，其僅由“內稟”性質A-E表征 (Und sie alle sollen als spezielle Verwirklichungen des allgemeinen abstrakten Hilbertschen Raumes

angesehen werden, der durch die “inneren” Eigenschaften A bis E allein characterisiert ist)。我們用如下五個性質表征抽象(復)希爾伯特空間[Wir charakterisieren den abstrakten (komplexen) Hilbertschen Raum durch fünf Eigenschaften…]：

(A) 希爾伯特空間H是線性空間(H ist ein linearer Raum)。也就是空間中有元素0，有元素(矢量)間的加減，f +g，f -g；此外對元素還有乘法，af，其中a是復數；

(B) 在希爾伯特空間H中存在內積，同矢量計算的內積可相類比，其產生一個度規(Es gibt in H ein, zu dem der Vektorrechnung analoges, inneres Produkt, das eine Metrik erzeugt)；

(C) 在|f-g|度規下希爾伯特空間H是可分割的，即一些可數的集合在H中處處是稠的(In der Metrik |f-g| ist H separabel. D. h.: eine gewisse abz?hlbare Menge ist in H überall dicht)；

(D) 希爾伯特空間H擁有任意(有限)多的線性獨立元素[H besitzt beliebig(endlich!) viele lin. unabh. Elemente]；

(E) 希爾伯特空間H是完備的。

這樣的關于希爾伯特空間的表述，當然還有更多的細節內容，如果在學習量子力學時多少了解一點，估計會覺得量子力學還蠻可親的。

在1929年的“無限矩陣理論”一文中(收稿日期是1928年10月22日。詭異的是，這一篇文章引用了收稿日期為1928年12月15日“厄米特泛函算符的一般本征值理論”的發表版)，馮?諾伊曼在這篇文章中把算符理論移植到了矩陣上(die Theorie von den Operatoren auf die Matrizen zu übertragen)。在有限維空間情形，算符—矩陣關系是簡單明了的(ein einfaches und zwar ein eindeutiges ist)。但是在無界算符情形，算符與矩陣的關系就不那么簡單了。算符的矩陣表示aμν=(φμ, Rφν)只當所有的Rφ1, Rφ2,…有意義時才有意義，即便如此，在這些矩陣的變換理論中也會出現一系列的收斂困難與 限制(treten in der Transformationstheorie dieser Matrizen eine Reine von Konvergenzschwierigkeiten und Beschr?nkungen auf)。

馮?諾伊曼說，相關研究同新的量子理論有密切聯系，因為所謂的矩陣理論和變換理論之數學工具就是無限厄米特矩陣的酉變換。最獨特的是，厄米特矩陣相對來說行為是足夠理性的，病態的本質源頭是酉變換。這篇關于厄米特算符矩陣表示的文章，同前述關于抽象希爾伯特空間的論述放到一起，就能獲得關于矩陣表示的大致基礎。具體細節，有興趣的讀者請參閱原文。{關于矩陣力學，請參閱海森堡/玻恩—約當/玻恩—海森堡—約當/泡利/狄拉克的文章，薛定諤證明與波動力學等價性的文章，馮?諾伊曼關于希爾伯特空間—矩陣表示的文章，以及外爾將群論引入量子力學表示(群的矩陣表示)的文章，就能有個大概感覺了。}

順帶說一句，希爾伯特空間和厄米特線性算符(Hermitesche linear Operatoren)相聯系。厄米特(Charles Hermite,1822—1901)是法國著名的數學家，其在代數、數論、不變理論、正交多項式、二次型等方面的成果給其后的數學、物理都留下了深刻的個人烙印，特別地，在量子力學語境中我們必然會遇到Hermite polynomials, Hermitian operators等概念。我不知道把法文的Hermite譯成“厄米、厄密”是出于什么考量，我記得以前有過“厄米特”的正確譯法。本人在此后文章中會使用“厄米特”的譯法，如厄米特多項式、厄米特算符、非厄米特矩陣等。所謂的厄米特算符，即self-adjoint operator，滿足關系 ，這是能表達物理量的算符。馮?諾伊曼的說法是self-adjungiert oder Hermitesch，德語動詞jungieren，大意是結合。

2.4　量子力學的數學基礎

1932年，馮?諾伊曼的《量子力學的數學基礎》一書正式出版，其可看作是對他此前幾年關于量子力學工作的總結。

此書的內容基于馮?諾伊曼自己此前研究的內容，后繼的量子力學文獻都會提及，此處不多討論。有一點區別是，提及希爾伯特空間、算符理論時一般不對思想來源作交待，但提及量子力學的測量公設時則會強調是“馮?諾伊曼的測量公設”。一般文獻論及馮?諾伊曼的測量公設就簡單幾句，我們看到此書中馮?諾伊曼可是專門拿出來兩章討論這個問題的。測量，對于量子力學和經典物理都一樣，從來就不是一個簡單的事情。

馮?諾伊曼把測量過程分成三個部分：待測系統I，測量設備II，觀察者III。數學任務是給出I的正交歸一函數集φ1, φ2, …，給出II的正交歸一函數集ξ1,ξ2,…還得找出一個狀態ξ，找出關于I+II的能量算符H描述它們的時間演化過程。接下來有很復雜的討論，但是人們就記住了對系統關于算符A所對應的物理量的測量讓系統隨機地落入了A的某個本征態，緊接著的同樣測量得到相同的結果。馮?諾伊曼考慮了能想到的自然的三個不同程度之因果性或者非因果性(drei Stufen der Kausalit?t oder Akausalit?t denkbar)：(1) 完全統計的(ganz statistisch)。第一次測量結果是統計的、有分布的，緊接著的第二次測量還是統計的、有分布的；(2) 第一次測量結果是統計的、有分布的，緊接著的第二次測量的結果強制性地(gezwungen ist)與第一次測量相同；(3) 從一開始就是遵從因果律的?？赡苄?可以認為是被康普頓實驗給反駁了的，可能性3不具有量子力學的特點，所以選擇是2。

馮?諾伊曼的測量理論在后世引起了很多討論，也被挖掘出了很多弱點來。比如，馮?諾伊曼的分析只考慮理想測量，要求待測量系統的本征態同測量設備的指示變量(pointer observable)的本征態要嚴格關聯。也有人啥也不管，儀器說啥就是啥，哪管什么儀器指示變量的本征態。有趣的是，馮?諾伊曼的測量理論，薛定諤在1952年說他是最近才被人告知的。1952年啊，那時候馮?諾伊曼的《量子力學的數學基礎》已經出版20年了。薛定諤的觀點是，我就不信真有這樣的測量設備(I do not believe any real measuring device is of this kind)。[Erwin Schr?dinger, The Interpretation of Quantum Mechanics, Woodbridge (1995) p.83]。 懂量子力學妨礙了薛定諤相信有這樣的測量設備。

馮?諾伊曼的測量公設，從其試圖建立的量子力學數學基礎來看，有其合理性。然而，現實的世界要復雜得多，把它當作實際的量子測量應遵從的法則有些勉強。一個尷尬的局面是，很多量子測量我稱其是滅跡式測量(trace-demolishing measurement)，比如用光電倍增管測光子(我們假設光存在光子態)，一次測量后那光子就沒了，不會留下一個處于某個被測量選擇的本征態的光子。所謂光子的性質，取決于我們關于光—物質相互作用這個難題的理解，而且似乎沒見到可用來修正我們理解的其他途徑。

3多余的話

馮?諾伊曼是少年天才(child prodigy)，是那類geek and nerd，即性格古怪的人、不通人情世故的人，這在講究人情世故的地方是致命的缺點。讀化工的馮?諾伊曼憑借數學成就得到希爾伯特這樣的數學大神的青睞，這讓我傾向于認為真正的大家還是期望看到少年天才脫穎而出的。韓愈老師說“千里馬常有，而伯樂不常有”，感慨有伯樂這種水平和人品的專業人士的缺乏。神童培養與相馬不同，世間神童常有，能看出神童是神童的人也不缺，但是能讓神童成長為大才的MacTutor卻罕有。能看出馮?諾伊曼的數學天才的，不光有隔壁村的張屠戶，還得有哥廷恩的希爾伯特，這才是關鍵。

馮?諾伊曼在1914—1921年間就讀于布達佩斯的路德教會中學，和西拉德(在校時間：1908—1916)、泰勒(在校時間：1918—1926)和維格納(在校時間：1913—1921)有交疊，他們四人都優秀得被稱為“火星人”。西拉德(Leo Szilard，1898—1964)就是鼓動愛因斯坦寫信督促美國開始原子彈工程的那位，泰勒(Edward Teller，1908—2003)是后來的氫彈項目首席科學家，維格納(Eugene Wigner，1902—1995)也是量子力學奠基人之一。這四個人的共同特點是，都是在匈牙利讀的德語中學，在德國大學學會的物理——其中馮?諾伊曼和維格納、泰勒出自哥廷恩，用德語發表論文成名的，還有他們都是曼哈頓工程的干將。

馮?諾伊曼的事跡讓筆者更加關注強記憶和多語言能力對學者的意義。強記憶力的意義不必多說，在我們這里博聞強記已是成語，蘇軾和王安石的“如意君安否？”是流傳千年的機鋒。但是，由于我國幅員遼闊、文化一統，對多語言能力的意義可能認識不足。就數學、物理的學習而言，使用單一語言讓我們吃虧不少。試分析馮?諾伊曼的句子logics corresponds to set theory and probability theory corresponds to measure theory，我們把它翻譯成“邏輯對應集合論，概率論對應測度論”一點問題沒有，但是少會意了很多。雖然英文里的集合是set，系綜是ensemble，但是在法語里都是ensemble，在德語里都是Gesamtheit(全體)，你讀馮?諾伊曼的量子統計論述，會發現人家把物理系統的系綜和系綜之某物理量本征值的集合自然地關聯到一起，因為它就是同一個詞。知道這一點，再回頭看馮?諾伊曼的熵公式S=-Nk Tr(U lnU)，會不會能多看出點什么。用漢語讀到測度論，誰會以為這和量子力學的測量公設有關系呢，可在馮?諾伊曼那里measure theory 和 measurement postulate of quantum mechanics就是一回事兒啊。

馮?諾伊曼擁有過目不忘和逐字逐句過目成誦的本領，這值得說道說道。過目不忘、博覽群書以待將來融會貫通，這應該成為培養少年的程式。清末福州馬尾學堂梳著長辮子的中國少年也是讀法文的高等數學書的。我們的社會要提倡讀根本讀不懂的書的理念，也要提倡萬不得已才讀譯文的理念。如果吃個肉夾饃我們都追求原汁原味，那么對于知識，尤其是那些帶思想的高品質的知識，原汁原味就是起碼要求。關于人才培養，筆者覺得有必要提倡過目不忘、過目成誦、一學就會、一做就成的優良作風！

數學和物理在有些地方被污蔑為枯燥無趣的學科，也可以理解。審美，駐足在智力的邊界上。人們不欣賞自己看不懂的事物。其實，自然之道是簡單的，簡單性是自然科學的指導原則，已經簡單到不能更簡單的地步。馮?諾伊曼說，“If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.”如果對簡單而美的事物，比如數學，提不起興趣，那是真沒有興趣了。

在一般的物理學家那里，數學只是不成套、不順手的工具。在馮?諾伊曼那里，他為量子力學奠立了數學基礎，他也開啟了從量子論出發做精確數學的路子，他受新穎物理概念的啟發更加深入廣泛地研究關于無窮維空間及作用于其上的算符的純粹數學。如前所述，這里的基本直覺(insight，內視、內視而來的覺悟)是，希爾伯特空間中的矢量幾何同量子力學系統的狀態之結構形式上具有相同的性質。馮?諾伊曼的研究套路佐證了筆者的觀點，即數學不止是物理的表示語言與研究工具，它也可以是物理的研究結果。計算機應該是數學與物理結合的成果。馮?諾伊曼后來成了計算領域，包括硬件設計、理論計算科學到計算科學哲學等方面的奠基人(founding figure，圖5)，就不令人奇怪了。

圖5　馮?諾伊曼在普林斯頓高等研究院的計算機旁

參考文獻

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來源：中國物理學會期刊網

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