作者按

盡管現有的量子蒙卡算法可實現大尺寸量子多體系統中糾纏熵的精確計算，但其高昂的計算代價和較高的技術壁壘嚴重限制了大規模糾纏熵數據的提取，從而也限制了我們對凝聚態系統與量子糾纏深刻關系的進一步理解。為此，我們提出了一種基于量子蒙特卡羅模擬的創新性解決方案——雙組份重賦權退火算法（bipartite reweight-annealing algorithm）。該算法實現了量子多體系統糾纏熵及其導數的高效掃描，通過此算法，我們成功揭示這些量在臨界點附近和不同相中的普適行為。除此之外，該方法具有一定的普適性：它不僅可以拓展到費米子系統，也可以用來計算糾纏負值度(negativity)，同時還可以作為非對角測量的一般性解決辦法。

撰文 | 王哲、嚴正（西湖大學物理系）

量子糾纏自量子力學誕生之初，其“詭異”特性一直是科學界爭議與探討的焦點。早期研究主要關注其理論本質及對量子力學基礎的挑戰，近三十年來，隨著量子信息科學的突破性進展，量子糾纏已發展成為跨學科研究的核心樞紐。

在基礎科學層面，糾纏理論已深度融入原子物理、量子光學、高能物理乃至宇宙學研究。在交叉應用領域，其與凝聚態物理、統計力學及量子場論的深度融合，催生了多體量子系統研究的新范式。特別是，糾纏理論對凝聚態物理產生了革命性影響。當前，在量子信息科學與傳統物質科學的交叉前沿，通過糾纏視角揭示量子多體系統的演化規律與臨界行為，已成為理論物理最具活力的研究方向之一。量子多體糾纏的相關標度理論已成為研究量子物質態的基本組織原理，其標度行為深刻揭示了量子多體態的內在結構，并用于區分不同量子相及其相變。但是，目前對于二維及高維強關聯多體系統而言，現有糾纏熵計算方法面臨計算成本高昂、技術復雜度高等挑戰。這使得研究者無法像在一維系統那樣，通過掃描糾纏熵來完整刻畫量子物相及相圖并精確表征臨界現象，制約了基于糾纏熵對于凝聚態系統的全面分析。

受限于現代計算機的內存容量，嚴格對角化或者密度矩陣重整化群一類的方法在二維強關聯系統所能計算的系統尺寸相對較小，或者局限于一些維系統。在二維及高維系統，現有的糾纏熵算法主要是借助于量子蒙特卡洛模擬來實現的。讓我們首先對現有的糾纏熵蒙特卡洛方法進行一個總結。馮諾依曼熵的計算往往需要得到具體的波函數，這對于蒙卡計算非常具有挑戰性。在這里，我們主要介紹馮諾依曼熵的單參數推廣——n階Rényi糾纏熵

尺寸的增加指數衰減，所以通過這種辦法只對小系統奏效，無法通過蒙卡模擬精確計算大尺寸的糾纏熵。

為克服這一困難，文獻[1, 3]提出了糾纏區域增量法，其核心思想是將自旋逐漸放入糾纏區域，并將所有中間過程的比率連乘，最終得到目標比值。將一個極小的值分解為多個較大值的乘積，通過計算每個中間比率，可高精度提取糾纏熵。但該算法的缺點是：格點數必須為整數，導致中間過程只能拆分為有限步驟，且部分中間比率仍可能趨近于零；計算過程中副本流形（replica manifold）會因中間步驟而改變，這增加了量子蒙特卡洛模擬的

造），使得中間的增量連續化，即，可以根據計算需求，進行中間過程的任意分割[4, 5]。該方法的優勢是：能夠模擬到前所未有的系統尺寸和精度。不足之處是：需引入額外的細致平衡條件，顯著增加了算法實現的復雜度；由于虛擬中間過程的非物理特性，這些中間結果無法有效利用，導致大量的計算資源浪費。

我們最近提出了一種雙組份重賦權退火[6,7]量子蒙特卡洛新算法[8]。與傳統算法直接計算

整個參數路徑下兩種配分函數的比值一次性求解。這種方式的主要優勢可概括為以下兩點：一是單次模擬即可獲得糾纏熵隨參數的連續變化曲線，大大降低了計算成本；二是算法實現簡化，無需復雜流形切換，模擬各自流形即可，代碼易擴展至各類多體模型，例如費米子模型等[9]。此外，我們想強調的是，這種雙組份重賦權退火的思想是具有普適性的。除了本文所著重強調的糾纏熵外，它也可以用來計算Rényi負值度(negativity)[10]。

以看成測量兩個不同配分函數的比值，過去我們不知道如何直接計算這兩種配分函數的比值，而現在可以應用雙組份重賦權退火量子蒙特卡洛算法來計算。

此外，我們還提出了一種無需依賴密集糾纏熵數據、避免數值微分的方法來計算糾纏熵的導數。該公式僅需計算不同時空流形下的能量差值即可直接獲得糾纏熵導數結果。這使得我們首次計算了二維強關聯自旋系統中糾纏熵導數。

下面我們來著重聊一下怎樣通過雙組份重賦權退火來高效計算多體糾纏熵[8]。

情況可以是直積態，也可以是將環境與糾纏區域之間的相互作用調為零）。在論文中我們還給出了另外一種方法：從精確對角化可解的尺寸開始，通過迭代退火系統的尺寸（將若干個小系統之間的耦合強度從0退火增大到目標值，從而得到大尺寸系統），最終得到大尺寸糾纏熵的值[8]。

總結來看：兩個配分函數單獨計算；中間的路徑是沿著實際參數路線，所得到的糾纏熵值都是物理的。到現在為止，大家可能已經能感受到該算法的優勢：單次模擬即可獲得糾纏熵隨參數的連續變化曲線，大大降低了計算成本；算法實現簡化，無需復雜流形切換，代碼易擴展至各類多體模型。

如果你覺得以上計算仍然復雜，計算量仍然大，但又想通過糾纏熵來做點事情的話，可以考慮糾纏熵的導數。可能你此時立馬就又有疑問啦：數值方法一般都是通過數值微分來計算相應物理量的導數，往往需要稠密并且更加精確的原函數數據，那豈不是計算代價爆棚？但事實也并非如此，例如，比熱和磁化率并不用通過對能量或磁化的數值微分而得到，其有自己獨立計算公式。在我們的工作[8]中，我們推導了糾纏熵導數的計算公式，并通過數值的結果證明了它的正確性。公式如下（具體的推導過程見[8]）：

為了清晰起見，我們拿一個具體的模型來翻譯一下這個公式。以自旋-1/2 二聚化海森堡模

該很容易就能看出，這類似于在兩個不同的流形下分別計算能量。有了導數，這同時也啟發我們另外一種計算糾纏熵的方法——積分法（顧名思義就是把導數乘以參數的差值然后求和起來）。如圖2，我們的數據證實了這一點，同時也證明了導數計算公式的正確性。這一計算導數方法的優勢在于：無需數值微分（無需稠密的糾纏熵數據），可以根據計算需求進行任意參數點計算，大大降低了計算成本；計算屬于對角測量，程序編寫簡單。

符合理論預測的。此外，我們通過糾纏熵與其導數全面表征了臨界現象。在這之前，有關糾纏熵的工作主要是聚焦在系統的某個確定相或已知臨界點上。而在我們的工作中，結合糾纏熵及其導數能完整地提取到系統的臨界點及其臨界指數。如圖3(a2)和(b2)所示，糾纏熵在臨界點處會有凸凹性的變化，這在其導數數據上體現得更加清晰，可以看到其導數在臨界點處有個峰。通過外推峰的位置，我們可以確定系統的臨界點。同時，我們提取了糾纏熵面積律前面的系數，如圖3(a4)和(b4) 所示。結合糾纏熵標度公式的主項系數滿足|a(J)-a(Jc)|~|J-Jc|ν[12,13]，我們成功提取了普適的臨界指數ν。

總結來看，在量子蒙卡的框架下，我們創新性地引入了雙組份重賦權退火方案。它應用靈活、便于推廣，不僅可以計算玻色[8]和費米系統的糾纏熵文[9]，還可以用來計算Rényi負值度(negativity)[10]和魔法（magic）或不穩定性（non-stabilizerness）[14], 同時還可以作為非對角測量的一種普適測量方法[11]。對這些工作感興趣的朋友們，可以閱讀我們相關的文章。

參考文獻

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[9]W. Jiang, G. Pan, Z. Wang, B.-B. Mao, H. Shen, and Z. Yan, High-efficiency quantum monte carlo algorithm for extracting entanglement entropy in interacting fermion systems (2024), arXiv:2409.20009

[10]Y.-M. Ding, Y. Tang, Z. Wang, Z. Wang, B.-B. Mao, and Z. Yan, Tracking the variation of entanglement

r′enyi negativity: an efficient quantum monte carlo method (2024), arXiv:2409.10273.

[11] Z. Wang, Z. Liu, Z. Wang, and Z. Yan, Addressing general measurements in quantum monte carlo (2024), arXiv:2412.01384.

[12]Max A Metlitski, Carlos A Fuertes, and Subir Sachdev. Entanglement entropy in the o(n) model. Physical Review B, 80(11):115122, 2009.

[13] Johannes Helmes and Stefan Wessel. Entanglemententropy scaling in the bilayer heisenberg spin system. Phys. Rev. B, 89:245120, Jun 2014.

[14]Y.-M. Ding, Z. Wang, Z. Yan. Evaluating many-body stabilizer Rényi entropy by sampling reduced Pauli strings: singularities, volume law, and nonlocal magic. arxiv:2501.12146

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