撰文 | 遇見數(shù)學(xué)

平凡性（數(shù)學(xué)）

在數(shù)學(xué)中，“平凡”(trivial)這個(gè)詞用來形容那些"顯而易見"、"不需要特別思考"或"結(jié)構(gòu)極其簡單"的情況。

“平凡”這個(gè)詞源自中世紀(jì)教育中的“三藝”(trivium)課程，它包括語法、修辭和邏輯，被認(rèn)為比包含算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂的“四藝”(quadrivium)簡單得多。

“平凡”的反義詞是“非平凡”(nontrivial)，通常用來表示某個(gè)例子或解決方案并不簡單，或者某個(gè)陳述或定理不容易證明。

平凡性在數(shù)學(xué)中并沒有嚴(yán)格的定義。它具有主觀性，通常由考慮該情況的人的知識和經(jīng)驗(yàn)決定。

平凡與非平凡的例子

在數(shù)學(xué)中，“平凡”一詞常用來指結(jié)構(gòu)非常簡單的對象（如群、拓?fù)淇臻g）。

1. 平凡的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

• 空集：不包含任何元素的集合
• 平凡群：只包含一個(gè)元素（恒等元）的群
• 平凡環(huán)：只有一個(gè)元素的環(huán)

2. 平凡解與非平凡解

“平凡”也可以用來描述那些結(jié)構(gòu)非常簡單的方程解，但為了完整性也不能忽略這些解。

在數(shù)學(xué)推理中

平凡也可以指證明中任何容易處理的情況，但為了證明的完整性，這些情況都不能忽略。

例如，數(shù)學(xué)歸納法證明有兩部分：

基礎(chǔ)情況通常是平凡的，并被標(biāo)識為平凡，盡管也有基礎(chǔ)情況困難但歸納步驟平凡的情況。

另一個(gè)平凡證明的例子涉及空集。假設(shè)你想證明"某個(gè)集合中的所有元素都具有某種性質(zhì)"：

• 當(dāng)集合非空時(shí)，你需要仔細(xì)檢查每個(gè)元素
• 當(dāng)集合為空時(shí)，證明變得“平凡”，因?yàn)榭占袥]有元素，所以這個(gè)陳述是“空真”(vacuous truth)

對某種情況是否平凡的判斷取決于考慮它的人，因?yàn)閷τ诰哂凶銐蛑R或經(jīng)驗(yàn)的人來說，這種情況可能顯而易見，而對于從未見過這種情況的人來說，可能難以理解，因此完全不平凡。關(guān)于一個(gè)問題應(yīng)該多快、多容易被識別才能被視為平凡，可能存在爭論。

平凡性也取決于上下文。在泛函分析的證明中，給定一個(gè)數(shù)，很可能會(huì)平凡地假設(shè)存在更大的數(shù)。然而，在基礎(chǔ)數(shù)論中證明關(guān)于自然數(shù)的基本結(jié)果時(shí)，證明可能取決于這樣的論述：任何自然數(shù)都有后繼數(shù)——這個(gè)陳述本身應(yīng)該被證明或被視為公理，因此不是平凡的。

平凡證明

在一些文獻(xiàn)中，平凡證明指的是涉及蘊(yùn)含式 P→Q 的陳述，其中結(jié)論 Q 始終為真。在這里，證明直接源于實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含的定義，即當(dāng)結(jié)論固定為真時(shí)，無論前提 P 的真值如何，蘊(yùn)含式都為真。

一個(gè)相關(guān)概念是空真，其中實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含 P→Q 中的前提 P 為假。在這種情況下，無論結(jié)論 Q 的真值如何，根據(jù)實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含的定義，蘊(yùn)含式始終為真。

幽默

數(shù)學(xué)界的一個(gè)常見笑話是說“平凡”與“已證明”是同義詞——也就是說，任何定理一旦被證明為真，就可以被視為“平凡”。

【遇見數(shù)學(xué)】：這種幽默反映了數(shù)學(xué)研究中一個(gè)有趣的現(xiàn)象。當(dāng)你完全理解了某個(gè)概念后，它往往會(huì)變得"顯而易見"，以至于忘記了自己曾經(jīng)為理解它而花費(fèi)的精力。

兩個(gè)數(shù)學(xué)家在討論一個(gè)定理：第一個(gè)數(shù)學(xué)家說這個(gè)定理是“平凡的”。應(yīng)另一位的要求解釋，他隨后進(jìn)行了二十分鐘的講解。解釋結(jié)束時(shí)，第二個(gè)數(shù)學(xué)家同意這個(gè)定理是平凡的。但是，如果證明一個(gè)定理需要大量時(shí)間和精力，我們能說這個(gè)定理是平凡的嗎？

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)家說一個(gè)定理是平凡的，但他在宣稱它平凡的那一刻無法自己證明它，這個(gè)定理是平凡的嗎？

通常，作為一個(gè)玩笑，人們會(huì)將一個(gè)問題稱為“看起來就是顯然的”(intuitively obvious)。例如，有微積分經(jīng)驗(yàn)的人會(huì)認(rèn)為以下陳述是平凡的：

然而，對于不了解積分微積分的人來說，這并不明顯，所以它不是平凡的。

例子

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• 在數(shù)論中，找到整數(shù) N 的因子常常很重要。任何數(shù) N 都有四個(gè)明顯的因子：±1 和 ±N。這些被稱為“平凡因子”。任何其他因子（如果存在）都被稱為"非平凡因子"。

• 會(huì)被稱為平凡；然而，在這種情況下是平凡的，因?yàn)樗钠渌泓c(diǎn)通常未知且具有重要應(yīng)用，并涉及開放性問題（如黎曼假設(shè)）。因此，負(fù)偶數(shù)被稱為該函數(shù)的平凡零點(diǎn)，而任何其他零點(diǎn)則被視為非平凡零點(diǎn)。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“遇見數(shù)學(xué)”，原內(nèi)容及圖片源自維基百科，遵循CC BY-SA 4.0協(xié)議。 原文：
en.wikipedia.org/wiki/Triviality_(mathematics)，翻譯：【遇見數(shù)學(xué)】譯制，并補(bǔ)充部分內(nèi)容/圖片。

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