想象你帶著1000元起始資金參加這樣一個翻硬幣挑戰游戲，你可以選擇一直玩下去：

每輪拋一次硬幣，

拋到正面，財富增加 80%。

拋到反面，財富減少 50%。

聽上去是個穩賺不賠的游戲！

但現實是……

如果讓10萬個玩家參加這個游戲，并讓他們各自玩100輪，你會發現：他們的平均財富確實在指數增長，但絕大多數人最后的財富竟然不到72元，甚至破產！

為什么平均財富是增長的，但大多數人卻越玩越窮？

這就是典型的非遍歷性陷阱?？傆X得再來一局就能翻盤，恰恰是因為我們誤把群體平均當成了個體命運。

1. 非遍歷性的陷阱：長期平均≠ 你的真實命運

什么是遍歷性？

遍歷性（Ergodicity）這個概念最早出現在統計物理學中，也在概率論、金融、行為科學、機器學習等領域產生深遠的影響。它試圖回答的核心問題是：長期平均值，是否適用于個體？我們在做決策時，到底該相信‘長期平均’，還是‘一次次親身經歷’的現實？

19世紀，物理學家路德維?！げ柶澛↙udwig Boltzmann）研究氣體分子運動時提出了遍歷性假設：如果觀察一個氣體分子足夠久，它會遍歷所有可能的狀態。

想象一個封閉的氣體容器，容器中有無數氣體分子，每個分子都在碰撞過程中經歷不同的速度軌跡。單個分子的長期軌跡和整個氣體的統計分布是相同的，這意味著我們可以用某個時刻所有分子的狀態，來推測單個分子的長期軌跡。

這就是著名的玻爾茲曼的遍歷性假設。

數學上，遍歷性意味著：

左側是時間平均：描述一個個體在足夠長的時間里，多次經歷同一過程后所得的平均結果；

右側是群體平均：描述在某一時刻觀察無數個體的結果所得的統計期望。也就是說：當系統滿足遍歷性條件時，單個個體的表現最終會收斂到群體的“長期平均”。

如果世界是遍歷的，每個人的財富最終都會趨近于社會的平均財富水平。在遍歷的世界，所有人都能體驗到所有可能的經濟狀態（富有、貧窮、成功、失敗），個體的命運總會收斂到群體的“長期平均”。

但現實生活往往是非遍歷的：個體的資源有限，往往在經歷到所有可能的路徑前就因某次失敗直接出局。

我們經常聽到這樣一些具有引導性的言論：

“某行業的平均年收入過百萬。”

“某人30歲就財務自由，創業只花了兩年?！?/p>

“某指數基金長期年化收益高，只要堅持投就會變富。”

這些看似合理的統計數據仿佛在告訴我們一個確定的真相。好像只要行動，長期平均收益就會適用于個體。但這些個案屬于路徑依賴+不可復制的非遍歷過程。模仿者無法經歷相同歷史背景、關系網絡、運氣節點，甚至不知道隱藏失敗者的數量。

數據告訴你群體長期的平均值，但現實卻充滿短期的“斷崖式失敗”。

這正是非遍歷性最隱蔽的陷阱 —— 大數據統計的平均值 ≠ 個體的真實命運。

一次崩潰對于個體來說可能再也無法彌補，一次失敗可能讓人徹底出局，無法再回歸到“平均狀態”。我們每個人的生命路徑只能經歷一次，無法像賭場一樣吃群體的長期平均，等著概率在無數次個賭徒中平均化。

為何個體的長期命運大多比“平均值”更差？

在非遍歷系統中，個體長期表現往往低于群體平均。這不是偶然，而是系統性的結構特征。光鮮的平均值往往是被極少數創業成功、投資暴富、逆襲上岸的故事拉了上去，更多人的失敗從未進入統計。

現實系統在多數情況下是乘法型、且具有路徑依賴的特征——比如投資的復利、健康的衰退、聲譽的損毀。這類系統的典型特征是：上行有限，下行無底。

一次破產，可能毀掉一生；

一場次錯誤決策，可能徹底改變命運；

一次失信可能徹底摧毀信任；

而能賺到的財富、漲的績效、建立的優勢卻總是有限。

這正是為什么在數學上，乘法型過程的長期增長率并不等于“平均收益”，而是更接近于：

相比之下，群體平均通常用的是算術平均，

而由于對數函數是嚴格凹函數，基于Jensen不等式，有：

因此，乘法系統的長期增長率（即幾何平均）始終小于算術平均。波動越大，這個差距越明顯。算術平均是告訴你‘如果永遠幸運會怎樣’，而幾何平均告訴你‘在真實世界里走過風雨之后你剩下多少。

這意味著個體的長期表現總是遠低于“群體平均收益”，不是運氣不好而是結構使然。

如何做最優決策？ 凱利公式的黃金分割線

那么在人生決策中，我們能做點什么避免在長期游戲中歸零的命運？如何既不破產出局，還能實現長期復利？

答案是：永遠不要 All in，學會凱利下注！

凱利公式（Kelly Criterion）是一種用于重復博弈中的最優下注策略，目標是最大化長期收益的同時避免短期虧光出局。它最初由約翰·凱利（John L. Kelly Jr.）于 1956 年在貝爾實驗室提出，原意是解決通信系統中“如何在有噪聲的信道中分配信號功率”，以實現信息傳輸效率最大化。

后來這套理論很快就跨界出圈。

美國數學家、投資奇才愛德華·索普（Edward Thorp）發現凱利公式能夠優化財富增長路徑。他將凱式帶進賭場，在《Beat the Dealer》中首次用它系統性打敗了21點莊家，之后又帶進了華爾街，在《Beat the Market》中繼續“收割”。

這一準則本質上等價于最大化對數期望收益（log-utility），從而兼顧了增長與風險之間的動態平衡。它幫你在“活得長久”和“賺得夠多”之間，找到一個最優平衡點。

凱利公式：

其中，成功的概率是 p，失敗的概率是q = 1-p；成功時的收益倍率（不包含本金）是b，失敗時的虧損比例是 a（通常是1，如果虧的是全部下注金額）。

回到開篇提到的拋硬幣游戲，你可以選擇下注一定比例的本金一直玩下去，但每次押多少最合理？

也就是說，凱利公式建議你每次投入總資金的37.5%。押得太多，即使有優勢，也可能因為幾次連輸直接爆倉；押得太少，又錯過了本該屬于你的增長。

凱利公式的意義就在于：找到那個既能長期賺最多，又能活得下去的點。

補充一點，凱利公式對勝率賠率非常敏感，但現實中這些參數往往不確定或動態變化，因此許多穩健的實踐者會選擇凱利建議值的一半（被稱為半凱利策略）以換取更平滑的收益路徑。

模擬實驗：10萬人翻硬幣賭局，多少人能“活”下來？

為了更直觀地理解不同的下注策略對個體命運的影響，我模擬了10萬個玩家參與開篇的拋硬幣游戲，總共進行200輪，每人獨立進行游戲。

游戲規則依舊是：本金1000，正面朝上賺80%，反面虧50%。玩家可以選擇固定的下注比例：比如押全部（100%），押65%，37.5%，……

結果…… 100%下注的玩家幾乎全滅！

最終財富呈“冪律分布”，雖有極少數人暴富，但絕大部分人玩家都破產了。

我們對比這4種不同的下注策略的玩家財富分布， 資產分布越右玩家資產越高。

a.100%下注：幾乎所有人破產

全押策略下的最終資產分布有龐大的左側貧困峰 + 極細的右側暴富尾結構：大部分人破產，極少數人賺走所有的錢，這就是博弈不對稱性 + 幸存者偏差的真實呈現。

b. 65%下注： 依舊兩極分化，仍有大量人破產

c. 37.5% 下注（凱利公式）：財富穩定增長

凱利下注策略下，資產分布明顯右移，多數人資產增長且分布集中，是最優財富積累模型。

d. 10%下注：幾乎無人破產但回報太低

沒有了類似全押情況下的破產分布尖峰，但整體財富集中在低資產區。相比之下，37.5% 策略會在右側拉出明顯長尾，實現資產倍增。

凱利下注是唯一兼顧“多數情況下不破產”和“可觀增值”的策略，是數學上最優的長期生存策略。這正是凱利公式的精髓：它不是讓你贏得最多，而是確保你能活得夠久。

凱利公式中的生活哲學

凱利公式告訴我們，長期成功的秘訣是學會把控“下注”的比例。人生不是比誰能打出一次暴擊，而是比誰能一直玩下去。

在職業上，不是憑一腔熱血裸辭、也不是固守舒適區，是持續布局，提升能力，敢于換道，留一手選擇權；

在投資中，是不梭哈暴富，而是根據賠率控制倉位，留得籌碼；

在關系里，是不把全部情緒和價值寄托于一人，而是投入同時保有自我；

在成長和自律上，不靠一次爆發去獲得改變，而是通過穩定、復利式地優化生活結構。

人生就像一場漫長的游戲，你的目標不是贏一次，而是確保自己能一直玩下去。只要不出局，一定會有好事發生。

end

參考資料：

[1]Thorp, E. O. (2006).

The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market:

https://www.edwardothorp.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/KellyCriterion2007.pdf

[2] https://www.penguinrandomhouse.com/books/176000/the-black-swan-second-edition-by-nassim-nicholas-taleb

[3] https://www.collaborativefund.com/blog/the-psychology-of-money

[4] https://www.jstor.org/stable/2326591

[5] https://www.goodreads.com/book/show/104058.Fortune_s_Formula

來源：DataCafe

編輯：yhc

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