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數碼相機檢校原理

一般情況下造成非量測相機的誤差主要是相機鏡頭的光學畸變差。相機鏡頭畸變差會造成像點坐標位移，使鏡頭中心、像點和對應的物點不能滿足中心投影的光學共軛關系，從而降低影像的配準精度，光學畸變差包括徑向畸變差和偏心畸變差。

徑向畸變差是指像點沿著物鏡中像點偏移的方向偏離其理想位置而引起的畸變差，通常情況下，徑向畸變差呈對稱的方式，并且將主點視為對稱中心，但主點并不與對稱中心完全重合。徑向畸變差有正負之分，如圖3-13所示，相對主點向外偏移為正(枕形畸變)，向內偏移為負(桶形畸變)。

偏心畸變差是由于鏡頭光學中心和幾何中心不一致引起的誤差，它使構像點沿徑向方向和垂直于徑向方向都偏離其正確位置。偏心畸變差又可以分成非對稱徑向畸變差和切向畸變差。如圖3-14所示，dr為非對稱徑向畸變，dt為切向畸變。

除了徑向畸變和偏心畸變外，由于像素的采樣時鐘不同步和暗電流等噪聲的影響，造成了像素的水平間距與垂直間距存在的比例因子，以及像平面坐標的x軸與y軸不正交，由此產生的偏差被稱為像平面內仿射畸變差。在實際應用中，由于像平面內的仿射畸變差對測量結果的影響不大，對于質量較好的數碼相機，只考慮徑向、切向和偏心畸變，其數學模型可表示為：

公式(3.54)中，(x 0 ，y 0 )表示像主點坐標，(x，y)為像點坐標，k 1 、k 2 、p 1 、P 2 為鏡頭的畸變系數，r表示向徑，x-x 0 為以像主點為原點并改正了各項誤差的像點坐標，(△x，△y)為物鏡鏡頭畸變差在(x，y)方向上的改正數。

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非量測相機檢校算法

相機檢測的主要內容包括主點坐標(x 0 ，y 0 )的測定、焦距f的測定、光學畸變系數的測定和感光元件面陣內畸變系數的測定。按照是否需要控制場，相機檢校方法可分為傳統檢校方法和自檢校方法。傳統檢校方法是將含有眾多控制點的控制場作為拍攝對象，然后對拍攝的圖像進行相關處理，并利用一系列的數學變換求取相機的參數。相機自檢校方法不需要特定的控制場，僅僅依靠多幅影像之間的對應點之間的關系(如Kruppa等)直接解算相機參數。

傳統檢校方法較為成熟，檢校精度較高，已得到了較廣泛的應用，但是檢校過程煩瑣。自檢校方法較為靈活，缺點是需要特定的拍攝條件或者位置，并且參數過多，容易導致解算不夠穩定。常用的自檢校方法有相機檢校法、直接線性變換相機檢校和基于 Kruppa方程的相機自檢校方法。

01、相機檢校法

只需要相機對一個檢校模板在不同的方向拍攝不少于三張影像，通過提取2D圖像點坐標與三維點的對應來獲得最終結果，是目前攝像機檢校研究中比較熱門的算法之一。該方法假定平面檢校板置于其所在的世界坐標系Zω=0的平面上。通過線性成像模型來求得相機參數的初值，然后 基于非線性成像模型給出考慮了非線性畸變的目標函數，最后采用非線性最優化的方法來獲得相機參數的最優解。

其流程如下：

(1)打印一張模板并貼在一個平面上；

(2)從不同角度拍攝若干張模板圖像；

(3)檢測出圖像中的特征點；

(4)求出攝像機的內參數和外參數；

(5)求出畸變系數；

(6)優化求精。

這種檢校方法具有較好的魯棒性、實用性，但檢校精度較低。

02 基于直接線性變換的相機檢校方法

Abdel-Aziz和Karara首次提出直接線性變換方法，其基本思想是在空間設置足夠數量的控制點，事先測定每個控制點的空間坐標位置，用相機對控制點進行拍攝，將像點坐標和空間坐標代入構像方程，就可以計算出該相機的內外方位元素。

嚴格的中心投影共線方程式為：

由于非量測相機物鏡光學畸變差大，因此采用直接線性變換公式進行解算，對公式(3.55)進 行改化，可得到適用于非量測相對檢校的直接線性變換公式：

由于非量測相機物鏡光學畸變差大，因此需要顧及物鏡的徑向變形、偏心變形及仿射變形，則附有畸變改正的直接線性變換公式可表示為：

公式(3.55)~公式(3.57)中，(x，y)、(x 0 ，y 0 )分別為像點坐標和像主點坐標，(X，Y，Z)為像點對應的地面點物方空間坐標，f為相機主距，(Xs，Ys，Zs)為攝影中心對應的地面點物方空間坐標，△x、△y為畸變改正參數，可表示為：

徑向畸變差( Radial Distortion)指像點沿徑向方向偏離其準確位置，可用齊次多項式表達：

像點沿徑向方向和正交與徑向方向偏離的理想位置即為偏心誤差( Decentering Distortion)，徑向誤差稱為非對稱徑向畸變；正交于徑向方向的誤差稱為切向誤差，其表達式為：

顧及鏡頭的徑向畸變、偏心暗變及仿射變形，公式(3.54)可改化成：

公式(3.61)中，m 1 、m 2 為成像面元的非正方形和不垂直性引起的仿射和剪切畸交換系數，利用該方法對非量測數碼相機進行檢校，可求得L i (i=1,2，…11)及k 1 、k 2 、p 1 、p 2 、m 1 、m 2 ，通過進一步計算可得到內外方位元素。

鏡頭畸變差校正方法為建立一個高精度室內定標場，將待檢校的非量測相機物鏡的焦距設置在無窮遠處，使主距f不變，從而保證內方位元素和物鏡畸變系數穩定，然后對室內定標場進行攝影得到各個定標點的像點坐標，將標志點坐標根據共線方程反算出影像坐標(假定為無誤差的像點坐標)，最后由公式(3.61)計算其畸變改正參數。

03、基于Kruppa方程的相機自檢校方法

Kruppa方程最初是由O.D. Faugeras、Q.T.Luong和S.J. Maybank引入到計算機視覺領域中來，他們提出求解 Kruppa方程的相機自檢校方法，在歷史上被看作是第一個相機自檢校方法，Faugeras等研究證明了每兩幅圖像間存在兩個形如 Kruppa方程的二次約束，內部參數可以通過求解 Kruppa方程組來確定，其原理如下：

以左像片為參考，設立體模型右像片針對左像片的相對運動參數為(R，t)，相機內方位元素矩陣為K，則立體模型的基本矩陣有如下形式：

F=λ1K -T [t]xRK -1 (3. 62)

公式(3.62)中，λ 1 為常數因子，R為旋轉矩陣，t=(t x ，t y ，t z )為偏移量。

矩陣K中，(x 0 ，,y 0 )為相機主點坐標，f x 、f y 分別為針對影像橫縱坐標的主距，s為橫、縱坐標軸不垂直度的量。

設C=KK T ，那么 Kruppa方程可以用矩陣表示為：

（3.63）

公式(3.63)中，λ為常數因子，e＇為右核點，e＇=λ 2 K t 。

FCF T ，λ 2 [e＇]xC[e＇]TX兩個矩陣各項均可表示為向量c=(c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 3 ，c 5 ) T 的線性函數，即：

其中，M(c)，m(c)均為c的線性函數，因此矩陣方程公式(3.63)等價于下述方程組：

公式(3.64)即為相機 Kurppa方程。方程中，已知量為基本矩陣F，核點e＇為F T x=0的一個非零解，未知量為向量c=(c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 3 ，c 5 ) T 。上述方程中最多僅有兩個獨立的方程，因此至少需要有相機在不同位置上拍攝的三對圖像，才能求解出攝像機的內參數矩陣K，基本矩陣F的解算需要至少八個同名像點。

基于 Kruppa方程的自檢校方法檢校相機的過程僅需要建立兩幅圖像之間的方程，對圖像序列的攝影重建過程并不考慮，如果圖像序列較長，且所有圖像相對于確定的射影空間的無窮遠平面一致性無法保證，檢校算法的穩定性會受到影響，而且求解 Kruppa方程的計算量太大，非線性優化后收斂性不好，因此該自檢校方法魯棒性較低。另外，從相機內方位元素矩陣的形式也可看出， Kruppa方程沒有考慮鏡頭的畸變差，而實際的攝影測量應用中，鏡頭的畸變差是不能忽略的。

04、光束法附加參數相機檢校

光束法是一種把控制點的像點坐標，待定點的像點坐標以及其他內業、外業量測數據視為觀測值，整體地求解其最或是值和待定點空間坐標的計算方法。在預先檢校出內方位元素的條件下，光束法處理普通數碼影像，有內方位元素已知和未知兩種處理方式。此外，與量測相 機檢校不同，由于構想畸變差對量測結果影響顯著，故普通數碼相機除(x 0 ，y 0 ，f)外，畸變校正系數也可歸為廣義的內方位元素，物鏡畸變的徑、切向畸變改正模型一般為：

式(3.65)中，△x、△y為像點坐標畸變差改正值，x，y＇為以影像中心為原點的像點坐標量測值；x 0 ，y 0 為內方位元素，r為像點徑向半徑，k 1 、k 2 、k 3 為徑向睛變系數，p 1 、p 2 為切向畸變系數，將公式(3.65)代入共線方程可得：

將控制點坐標視為真值，像點坐標視為觀測值，各項畸變系數和待定點的空間坐標視為未 知數，附加參數的光束法平差的誤差方程如下：

設X 1 、X 2 、X 3 、X 3 分別為外方位元素改正數、內方位元素改正數、待定點坐標改正數、畸變系數改正數，設A 1 、A 2 、A 3 、A 3 為相應未知數的系數向量，L=[x-(x)y-(y)] T ，其中，(x) ，(y)為按照共線方程式計算的各片像點坐標近似值，(x，y)為像點坐標量測值，則誤差方程可按下式表示：

V=A1X1+A2X2+A3X3+A3X3-L （3.68）

根據誤差方程即可列出相應的法方程，進而解算出內方位元素以及相機畸變參數。

05、基于空間后方交會的相機檢校

基于空間后方交會的相機檢校是一種依據共線條件方程式，以像點坐標作為觀測值，在求解像片內方位元素和某些附加參數為主要目的但又同時求解像片外方位元素的相機檢校方法。其誤差方程如下：

V=AX外+BX內+CXad-L （3.69）

公式（3.69）中

假設拍攝3張像片1、2、3，每片上有n個公用點1、2、…、n，有3個附加參數如α 1 、α 1 、β 1 、β 2 (徑向畸變系數k 1 、k 2 和偏心畸變系數p 1 、p 2 )，那么誤差方程可表示為：

運用最小二乘原理：V T V=min，求得各位置參數X 1外 、X 2外 、X 3外 、X 內 、X ad ，詳細表達式為：

以上的解算過程是一個逐次迭代的過程。需要說明的是：

(1)采用單張像片處理(單片空間后方交檢校)為特例。這種處理方法也可解算出檢校結果，但受攝影方式和觀測值數量的限制，很難保證可靠性和精度。

(2)拍攝多張像片進行處理時，需保證是在同一主距條件下拍攝的，這時各張像片的外方位元素不同，但它們的內方位元素以及附加參數是相同的。

基于空間后方交會的相機檢校可分為單片檢校和多片檢校兩種，單片檢校的穩定性較差，并且很難保證精度，多片檢校具有較好的穩定性，但是無論單片還是多片，檢校的精度比較依賴控制點的物方坐標，如果達到物方坐標精度要求，需要高精度的量測一起并且需要消耗大量的人力、物力。

傳統攝影測量采用的是量測型相機，其內方位元素已知并且有較高的穩定性、較小的鏡頭畸變，但其價格昂貴且設備較為復雜。近些年，隨著非量測相機(普通數碼相機)的分辨率、穩定性等性能的提高，同時具有價格低廉、攜帶方便等優點，被廣泛應用于無人機航空攝影測量以及近景攝影測量中，但是普通數碼相機由于內方位元素未知、鏡頭畸變較大，為了滿足要求，在進行測量之前必須進行相機檢校。

空間點的三維位置信息與通過相機拍攝到的二維圖像中的對應點之間的相互關系由攝影機成像幾何模型決定，該幾何模型被稱為相機內方位元素(計算機視覺中稱其為相機參數）。相機內方位元素需要通過試驗和計算來確定，求解這些參數的過程即為相機檢校。

來源：新瑞得儀器